一个焦点为F（010）两条渐近线的方程为则该双曲线的标准方程为

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第16讲 圆锥曲线及其方程,1.本局部包括椭圆、双曲线与抛物线，新课标考试,说明与以前的考试说明有明显的变化，淡化了双,曲线、抛物线两局部的要求，相对强化了对椭圆,的要求，备考过程中要注意将重点放在椭圆上.,2.进一步明确解析法是联系几何与代数的纽带，体,会数形结合思想，方程与函数思想，化归转化思,想及分类讨论思想的应用，感悟解析法的程序性,与普适性，树立解析法的解题意识，提高解决问,题能力.,3.解析法研究问题，思路比较清晰，但运算与变形,有时比较繁琐，要注意解题过程的优化设计.这要,求备考者注意积累经验技巧与方法.,4.圆锥曲线的定义、性质、图象是高考考查的重点,与热点，要熟记定义法的应用、对称性的应用、,根本量间关系的使用，还要注意使用平面几何基,本性质简化解题过程.,【例1】2021盐城调研双曲线的中心在坐,标原点，一个焦点为F0，10，两条渐近线的,方程为 ,那么该双曲线的标准方程为 .,解析 依题意，双曲线焦点在y轴上，半焦距c=10,可设标准方程为 又渐近线方程,为 ,故,故双曲线方程为,探究拓展 注意根本量间的关系是解题的根本与,关键,焦点位置确实认便于标准方程的准确写出，,这是解决圆锥曲线类问题时首先要弄清的.,变式训练1 双曲线与椭圆 有相同,的焦距，它们离心率之和为 ，那么此双曲线的标,准方程是 .,解析 椭圆焦距为8，离心率e1=，双曲线离心,率e2=2,焦距为8,c=4,a=2,b2=c2-a2=12,故双曲线方程为,【例2】2021苏南四市联考设点F1、F2分别为,椭圆 ab0的左、右两焦点，直线l,为右准线.假设在椭圆上存在点M，使MF1、MF2、点,M到直线l的距离d成等比数列，那么此椭圆离心率e,的取值范围是 .,解析 如下图，设MF1=r1，,MF2=r2，,又M在椭圆上,a-cr2a+c,即,答案,探究拓展 类似本例确定离心率范围的题型,属于,较难题,难在不等关系的寻找与建立,这要求备考,者多积累、多总结、多思考，才能提高解题能力.,另外，本类习题，还表达了目标意识的应用，方,程思想的应用.,变式训练2 双曲线 (a0,b0)的,左、右焦点分别为F1、F2,点P在右支上,|PF1|=4|PF2|,那么双曲线离心率e的最大值为 .,在PF1F2中，cosF1PF2=，要求e的最,大值，只须求cosF1PF2的最小值，当,cosF1PF2=-1时e最大值为 .,解析,方法一,方法二,由以上可知,答案,【例3】2021徐州调研中心在原点，焦点在x,轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10.设,A5，0，B1，0.,1求椭圆C的方程；,2过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求,过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；,3过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作,x轴的垂线交椭圆C于另一点S.假设 (t1)，,求证：,1解 设椭圆的标准方程为,(ab0),所以椭圆的标准方程为,2解 设过点A的直线方程为y=k(x-5),代入椭圆方程,得(4+5k2)x2-50k2x+125k2-20=0,(*),依题意得=0，即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0,解得,且方程的根为x=1,当点D位于x轴上方时，过点D与AD,垂直的直线与x轴交于点E，,依题意得：,直线DE的方程是 ，,，所求圆即为以线段DE为直径的圆，,故方程为,同理可得：当点D位于x轴下方时，,圆的方程,3证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由,由方程组可知方程组成立.,探究拓展 1考查圆锥曲线根本量之间关系的,应用，根本性质是高考永恒的主题，也是人才选,拔所必需的.每位备考者务必熟练掌握，应用自如.,(2)直线与封闭曲线圆，椭圆的位置关系，可,由相应方程构成的方程组的解来确定，表达了以,数助形的方程思想，方程解的个数完全决定了交,点个数.,(3)平面几何与向量有极其容易结合之处，要注意,积累和归纳解题技巧与经验.,变式训练3 (2021盐城三检)直线(1+4k)x-,(2-3k)y-(3+12k)=0(kR)所经过的定点F恰好是,椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大,距离为8.,(1)求椭圆C的标准方程；,2圆O：x2+y2=1，直线l:mx+ny=1.试证明当,点Pm，n在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相,交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围.,1解 由(1+4k)x-(2-3k)y-(3+12k)=0(kR),得(x-2y-3)+k(4x+3y-12)=0,设椭圆C的方程为 (ab0),所以椭圆C的方程为,2证明 因为点Pm,n在椭圆C上运动，,所以 从而圆心O到直线l:mx+ny=1的距离,所以直线,l,与圆,O,恒相交.又直线,l,被圆,O,截得的弦长,为,由于,0,m,2,25,所以,即直线,l,被圆,O,截得的弦长的取值范围是,【例4】如下图，椭圆C：(ab0)的焦,点F1，F2和短轴的一个端点A构成,等边三角形，点 在椭圆C,上，直线l为椭圆C的左准线.,1求椭圆C的方程；,2点P是椭圆C上的动点，PQl，垂足为Q.是,否存在点P，使得F1PQ为等腰三角形？假设存在，,求出点P的坐标；假设不存在，说明理由.,解 1椭圆C的方程为 (ab0),由AF1F2为正三角形，,假设PF1=F1Q,那么PF1+F1Q=PQ,与“三角形两边之,和大于第三边矛盾，所以PF1F1Q.,假设F1Q=PQ，设P(x,y)(x2),那么Q-4，y).,探究拓展 探索性问题能考查学生的探索能力、,推理论证能力、逻辑判断与思维能力，在人才选,拔上有其长处一面.要注意其解题格式与模式.关,于分类讨论问题，务必做到分类标准统一，层次,清晰，各类之间不重复、不遗漏.,变式训练4 2021山东改编设椭圆E：,a,b0过M2，2，N ，1,两点，O为坐标原点.,(1)求椭圆E的方程；,(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一,条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？,假设存在，写出该圆的方程；假设不存在，说明理由.,解 1将M，N的坐标代入椭圆E的方程得,解得a2=8,b2=4.,所以椭圆E的方程为,2假设满足题意的圆存在，其方程为x2+y2=R2,其中0Rb0上任一点，焦点为F1-c,0,F2(c,0),那么|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0e为离心率；,过椭圆 ab0左焦点的焦点弦为,AB，那么|AB|=2a+ex1+x2，过右焦点的弦,|AB|=2a-e(x1+x2)(此结论不必死记,可以结合第二,定义理解记忆).,2.双曲线焦半径公式：设Px0，y0为双曲线,a0,b0上任一点，焦点为,F1-c,0,F2(c,0),那么：,1当P点在右支上时，|PF1|=a+ex0，|PF2|=,-a+ex0；,2当P点在左支上时，|PF1|=-a-ex0，,|PF2|=a-ex0.e为离心率,3.抛物线焦半径公式：设Px0,y0为抛物线y2=2px,(p0)上任意一点，F为焦点，那么|PF|=；假设,Px0，y0为抛物线y2=2px p0的焦点弦过焦点的弦为,AB，Ax1，y1、Bx2，y2，那么有如下结论：,1|AB|=x1+x2+p，|AB|=为直线AB,的倾斜角；2y1y2=-p2,x1x2=,5.双曲线 (a0,b0)的渐近线方程为,共渐近线 的双曲线标准方程为,(为参数，0).,6.椭圆、双曲线的通径最短焦点弦为,焦准距为 ；抛物线的通径为2p,焦准距为p;,双曲线 a0,b0的焦点到渐近线的,距离为b.,7.假设P是椭圆 (ab0)上的一点，F1、F2,是其两个焦点，且F1PF2=，那么F1PF2的面积,为 假设P是双曲线 a0,b0,上一点，F1、F2是其两个焦点，且F1PF2=，那么,F1PF2的面积为S=b2cot,8.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用点,差法(代点相减法),设A(x1,y1、B(x2,y2)为椭,圆 (ab0)上不同的两点，Mx0,y0,是AB的中点,那么kABkOM=-；对于双曲线,(a0,b0)，类似可得：kABkOM=;,对于抛物线y2=2px(p0)有kAB=,一、填空题,1.中心在坐标原点，一个焦点为5，0，且以直,线 为渐近线的双曲线方程为 .,解析 c=5，双曲线方程可设为,渐近线斜率 可设 b=3m,a=4m,25=16m2+9m2,m=1(舍去负值,m=1，,b=3，a=4，方程为,2.2021徐州三检假设椭圆的一个顶点与两个焦,点构成直角三角形，那么该椭圆的离心率是 .,解析 直角顶点只能是椭圆顶点，,(2c)2=a2+a2，4c2=2a2，e2=，,3.2021盐城调研设双曲线的中心O关于其右焦,点的对称点为G，以G为圆心作一个与双曲线的渐,近线相切的圆，那么双曲线的右准线与圆G的位置关,系是 .,解析 设右焦点为F(c,0),那么G(2c,0),渐近线取,即bx-ay=0.圆的半径为r=d=,右准线方程为 G到右准线距离,故hr.所以双曲,线的右准线与圆G是相离的.,相离,4.双曲线散 n1的两焦点为F1、F2，P,在双曲线上且满足|PF1|+|PF2|=2 那么,PF1F2的面积为 .,解析 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，那么a=，b=1，,c=，|r1-r2|=2a,又r1+r2=2,PF1PF2，,PF1F2为直角三角形.,=r1r2=1.,1,5.2021徐州模拟如下图，椭,圆中心在坐标原点，F为左焦点，,当 时，其离心率为,此类椭圆称为“黄金椭圆.类比“黄金椭圆，,可推算出“黄金双曲线的离心率e=.,解析 类比知“黄金双曲线中FBAB，,|FB|=|AB|=|AF|=a+c，,RtAFB中，|AF|2=|AB|2+|BF|2，,即(a+c)2=a2+b2+b2+c2,ac=b2=c2-a2e2-e-1=0,6.2021江苏如下图，在平,面直角坐标系xOy中，A1，A2，,B1，B2为椭圆,ab0的四个顶点，F为其右焦点，,直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的,交点M恰为线段OT的中点，那么该椭圆的离心率为,.,解析 由题意结合图形得，,即-bx+ay=ab,即bx-cy=bc,由求得：,即4,c,2,+,a,2,+2,ac,+,c,2,=4,a,2,-8,ac,+4,c,2,c,2,+10,ac,-3,a,2,=0,e,2,+10,e,-3=0.,又,0,e,b0)，且C2的离心率为 ，如果C1、C2相交,于A、B两点，且线段AB恰好为C1的直径，求直线,AB的方程和椭圆C2的方程.,解 设Ax1，y1、Bx2，y2，,A、B在椭圆上,b2(x2+x1)(x2-x1)+a2(y2+y1)(y2-y1)=0.,又线段AB的中点是圆的圆心2，1，,所以x2+x1=4,y2+y1=2,所以kAB=,椭圆的离心率为,直线AB的方程为y-1=-1(x-2),即x+y-3=0.,由(x-2)2+(y-1)2=和x+y-3=0,得 代入椭圆方程得：a2=16,b2=8.,所以椭圆C2方程为,8.2021徐州市三检椭圆,(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，其右准线l上,存在点A，使AF1F2为等腰三角形.,1求椭圆离心率e的取值范围；,2假设椭圆上的点 到两焦点F1，F2的距离,之和为2 ,当点A在x轴上方时,求AF1F2内切圆,的方程.,解 (1)由题意有F1(-c，0),F2(c，0),l：,设 由AF1F2为等腰三角形，,那么只能是|F1F2|=|F2A|，又|F2A|,2由题意得椭圆的方程为,其离心率为,此时F1-1，0，F21，0，l：x=2.,由F1F2=F2A，可得 .,设内切圆的圆心Bx1，y1，,AF1：x-y+1=0，BF2：y=-x-1,因为AF1F2为等腰三角形，,所以,AF,1,F,2,的内切圆的圆心点,B,到,AF,1,的距离等于,点,B,到,x,轴的距离，即 ,由点,B,在直线,BF