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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 集合与函数概念,人教,A,版数学,13.2奇 偶 性,第1页，共48页。,第2页，共48页。,第3页，共48页。,1函数的奇偶性,(1)定义,奇函数：设函数,y,f,(,x,)的定义域为,D,，如果对于,D,内的任意一个,x,，都有,，则这个函数叫做奇函数,偶函数：设函数,y,g,(,x,)的定义域为,D,，如果对于,D,内的任意一个,x,，都有,，则这个函数叫做偶函数,x,D,，且,f,(,x,),f,(,x,),x,D,，且,g,(,x,),g,(,x,),第4页，共48页。,(2)性质,如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以,为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以,为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数,如果一个函数是偶函数，则它的图象是以,为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于,对称，则这个函数是偶函数,坐标原点,坐标原点,y,轴,y,轴,第5页，共48页。,(3)判断奇偶性,f,(,x,)|,x,|；,f,(,x,),x,2,(,x,1)；,f,(,x,)|,x,1|,x,1|.,答案,偶既是奇函数，又是偶函数非奇非偶奇,第6页，共48页。,2用定义判断函数奇偶性的步骤是：,(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数,第7页，共48页。,0,0,奇,第8页，共48页。,第9页，共48页。,本节重点：奇偶函数的概念及图象的对称特征,本节难点：利用函数奇偶性的概念和图象的对称性，证明或判断函数的奇偶性,第10页，共48页。,第11页，共48页。,对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：,函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的考察一个函数,y,f,(,x,)是否具有奇偶性，不仅考察,f,(,x,)与,f,(,x,)之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称,第12页，共48页。,以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数的函数,f,(,x,)一定是常数函数,f,(,x,)0，但,f,(,x,)0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件,奇函数,y,f,(,x,)若在,x,0处有定义，则一定有,f,(0)0.,第13页，共48页。,综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间,a,，,b,和,b,，,a,上有相同的单调性；偶函数在区间,a,，,b,和,b,，,a,上有相反的单调性(,ab,0),有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数,有些判断奇偶性的题目，须先化简,f,(,x,)的表达式，观察其特点，然后再进行判断,第14页，共48页。,第15页，共48页。,例1判断下列函数的奇偶性,第16页，共48页。,分析,利用函数奇偶性定义来判断,f,(,x,)为奇函数,(2),f,(,x,)定义域为,R,，且,f,(,x,)(,x,),2,1,x,2,1,f,(,x,)，,f,(,x,)为偶函数,(3)定义域为(，)，,f,(,x,)|,x,1|,x,1|,x,1|,x,1|,f,(,x,)，,f,(,x,)为偶函数,第17页，共48页。,(4)定义域为(，)，,f,(,x,)2,x,1，,f,(,x,),f,(,x,)且,f,(,x,),f,(,x,)，,f,(,x,)为非奇非偶函数,(5)定义域为1，,定义域不关于原点对称，,f,(,x,)为非奇非偶函数,f,(,x,)为偶函数,第18页，共48页。,判断函数,f,(,x,)|,x,a,|,x,a,|(,a,R,)的奇偶性,解析,f,(,x,)的定义域为,R,，当,a,0时，,f,(,x,)|,x,a,|,x,a,|,x,a,|,x,a,|,f,(,x,)，,f,(,x,)为奇函数，,当,a,0时，有,f,(,x,)0，,f,(,x,)既是奇函数又是偶函数.,第19页，共48页。,例2已知函数,y,f,(,x,)的图象关于原点对称，且当,x,0时，,f,(,x,),x,2,2,x,3.试求,f,(,x,)在,R,上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间,分析,由函数图象关于原点对称可知,y,f,(,x,)是奇函数利用奇函数性质可求得解析式,第20页，共48页。,解析,函数,f,(,x,)的图象关于原点对称,f,(,x,)为奇函数，则,f,(0)0，,设,x,0，则,x,0，,x,0时，,f,(,x,),x,2,2,x,3，,f,(,x,),f,(,x,)(,x,2,2,x,3),x,2,2,x,3,于是有：,第21页，共48页。,先画出函数在,y,轴右边的图象，再根据对称性画出,y,轴左边的图象如下图,由图象可知函数,f,(,x,)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1,第22页，共48页。,已知函数,f,(,x,)为偶函数，且当,x,0时，,f,(,x,)_.,答案,x,1,解析,x,0时，,x,0，,f,(,x,),x,1，,又,f,(,x,)为偶函数，,f,(,x,),x,1.,第23页，共48页。,例3已知,b,a,0，偶函数,y,f,(,x,)在区间,b,，,a,上是增函数，问函数,y,f,(,x,)在区间,a,，,b,上是增函数还是减函数？,分析,由函数的奇偶性进行转化,解析,设,a,x,1,x,2,b,，则,b,x,2,x,1,a,.,f,(,x,)在,b,，,a,上是增函数,f,(,x,2,),f,(,x,1,),又,f,(,x,)是偶函数，,f,(,x,1,),f,(,x,1,)，,f,(,x,2,),f,(,x,2,),于是,f,(,x,2,),f,(,x,1,)，故,f,(,x,)在,a,，,b,上是减函数,第24页，共48页。,A1 B2,有些判断奇偶性的题目，须先化简f(x)的表达式，观察其特点，然后再进行判断,f(x)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4f(1)f(x2)f(1)，,(1)已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，在2,6上是减函数，比较f(5)与f(3)的大小结果为_,(1)对f(x)定义域内的任意x，都有f(x)f(x)0则f(x)是奇函数,7判断下列函数的奇偶性,点评,由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的,第25页，共48页。,(1)已知函数,y,f,(,x,)是定义在,R,上的偶函数，在2,6上是减函数，比较,f,(5)与,f,(3)的大小结果为_,(2)如果奇函数,f,(,x,)在区间1,6上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么,f,(,x,)在6，1上是增函数还是减函数？求,f,(,x,)在6，1上的最大值和最小值,答案,(1),f,(5),f,(3),第26页，共48页。,解析,(1),f,(,x,)是偶函数，,f,(5),f,(5)，,f,(,x,)在2,6上是减函数，,f,(5),f,(3)，,f,(5),f,(3),(2)设6,x,1,x,2,1，则1,x,2,x,1,6，,f,(,x,)在1,6上是增函数且最大值为10，最小值为4，4,f,(1),f,(,x,2,),f,(,x,1,),f,(6)10，,又,f,(,x,)为奇函数，4,f,(,x,2,),f,(,x,1,),10，,10,f,(,x,1,),f,(1),解析,(1)奇函数的图象关于原点对称，且奇函数,f,(,x,)图象过点(2,1)和(4,2)，,必过点(2，1)和(4，2)，,f,(4),f,(2)(2),(1)2.,(2)偶函数,f,(,x,)满足,f,(3),f,(1)，,f,(3),f,(1),点评,(1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号“,f,”内的负号，,f,(4),f,(2),f,(4),f,(2),f,(4),f,(2)212.,第31页，共48页。,第32页，共48页。,第33页，共48页。,解析(1)根据偶函数图象关于y轴对称的性质，画出函数在y轴左边的图象，如图(1),解析四个命题都正确，故选D.,(3)偶函数f(x)2|x|2|x|f(x)，,由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1、1，)，单调递减区间是1,0)、(0,1,xD，且g(x)g(x),已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_.,例3已知ba0，偶函数yf(x)在区间b，a上是增函数，问函数yf(x)在区间a，b上是增函数还是减函数？,f(x)f(x)且f(x)f(x)，,7判断下列函数的奇偶性,f(x)为奇函数，则f(0)0，,f(5)f(3)，f(5)f(3),如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数,于是f(x2)f(x1)，故f(x)在a，b上是减函数,3若函数yf(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(),f(x)x2(x1)；,辨析,要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)有时还需要在定义域制约条件下将,f,(,x,)进行变形，以利于判定其奇偶性,第34页，共48页。,第35页，共48页。,第36页，共48页。,一、选择题,1下列函数不具备奇偶性的是(),答案,C,第37页，共48页。,第38页，共48页。,2,下列命题中真命题的个数为(),(1)对,f,(,x,)定义域内的任意,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,)0则,f,(,x,)是奇函数,(2)对,f,(,x,)的定义域内的任意,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,)0，则,f,(,x,)是偶函数,第39页，共48页。,A1 B2,C3 D4,答案,D,解析,四个命题都正确，故选D.,第40页，共48页。,3,若函数,y,f,(,x,)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数,f,(,x,)的图象上的是(),A(,a,，,f,(,a,)B(,a,，,f,(,a,),C(,a,，,f,(,a,)D(,a,，,f,(,a,),答案,D,解析,f,(,a,),f,(,a,)，点(,a,，,f,(,a,)在,y,f,(,x,)的图象上，故选D.,第41页，共48页。,4,已知,y,f,(,x,)是奇函数，且方程,f,(,x,)0有六个实根，则方程,f,(,x,)0的所有实根之和是(),A4 B2,C1 D0,答案,D,解析,奇函数的图象关于原点对称，方程,f,(,x,)0的六个根，即,f,(,x,)图象与,x,轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称，,和为0.,第42页，共48页。,5,已知,f,(,x,)(,m,1),x,2,2,mx,3为偶函数，则,f,(,x,)在(5，2)上是(),A增函数,B减函数,C部分为增函数，部分为减函数,D无法确定增减性,答案,A,解析,f,(,x,)(,m,1),x,2,2,mx,3为偶函数，,m,0，,f,(,x,),x,2,3，因此,f,(,x,)在(5，2)上为增函数，故选A.,第43页，共48页。,6,偶函数,y,f,(,x,)在区间4，1是增函数，下列不等式成立的是(),A,f,(2),f,(3)B,f,(),f,(),答案,D,第44页，共48页。,二、解答题,7判断下列函数的奇偶性,第45页，共48页。,解析,(1)为偶函数,x,Q,时，,x,Q,，,f,(,x,)1,f,(,x,),同理，,x,
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