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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、函数与方程思想,1,方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直,线或圆锥曲线因此可以用方程思想讨论直线和圆锥,曲线的位置关系问题可以把直线与圆锥曲线相交的,弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理从而减,少解题过程的运算量,2,函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会,引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段,长度及,a,、,b,、,c,、,k,、,e,之间构成函数关系，函数思想在,处理这类问题时非常有效,【,示例,1】,已知直线,y,2,和椭圆,(,a,b,0),相交于,A,，,B,两点，,M,为线段,AB,的中点，若,|,AB,|,2,，直线,OM,的斜率为 ，求椭圆的方程,解,由 消去,y,整理得,(,a,2,4,b,2,),x,2,8,a,2,x,16,a,2,4,a,2,b,2,0.,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，由根与系数的关系得,x,1,x,2,又设,M,(,x,M,，,y,M,),，,则,x,M,=,因为,k,OM,=,即,a,2,4,b,2,.,从而,x,1,x,2,又,|,AB,|,2,所以,即 解得,b,2,4.,所以,a,2,4,b,2,16,，故所求椭圆方程为,领悟,待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键,二、数形结合思想,圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的,几何意义挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形,结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问,题另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于,对圆锥曲线的性质和关系的研究中,【,示例,2】,当函数,y,1,与函数,y,k,(,x,2),4,的图象有两个相异交点时，实数,k,的取值范围是,(,),解析,曲线,y=1+,是以,(0,1),为圆心、,2,为半径的半圆,(,如图,),，直线,y=k(x-2)+4,是过定点,(2,4),的直线,设切线,PC,的斜率为,k,0,，切线,PC,的方程为,y=k,0,(x-2)+4.,圆心,(0,1),到直线,PC,的距离等于半径,2,，即,设直线,PA,的斜率为,k,1,，则,所以实数,k,的范围是,答案,C,领悟,平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形结合思想的直接体现本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想,三、化归与转化思想,解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍,【,示例,3】,从圆,C,：,x,2,y,2,4,x,6,y,12,0,外一点,P,(,x,1,，,y,1,),向圆引切线，切点为,M,，,O,为坐标原点，且有,|,PM,|,|,PO,|,，求使,|,PM,|,最小的,P,点坐标,解,将方程,x,2,y,2,4,x,6,y,12,0,配方后，,得,(,x,2),2,(,y,3),2,1,2,，,圆心为,C,(2,3),，半径,r,1.,切线,PM,与半径,CM,垂直,(,如图所示,),，,由,|PM|=|PO|,，得,化简整理，得,2x,1,+3y,1,=6,，,故满足,|PM|=|PO|,的,P,点轨迹是方程,2x+3y-6=0,表示的直线,|OP|,的最小值为,O,点到此直线的距离，即,从而解方程组,即满足题设条件的,P,点为,领悟,解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决,四、分类讨论思想,分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：,(1),过定点的直线的斜率是否存在问题,(2),与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论,(3),直线与圆锥曲线的交点问题,(4),含参数的方程表示的曲线的讨论问题,(5),圆与圆的位置关系判断问题,(6),椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等,【,示例,4】,已知向量,动点,M,到定直线,y,1,的距离等于,d,，并且满足,d,2,),，其中,O,为坐标原点，,k,为,参数,(1),求动点,M,的轨迹方程，并判断曲线类型；,(2),如果动点,M,的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率,e,满足,e,，求实数,k,的取值范围,=(2,0),=(0,1),解,(1),设,M,(,x,，,y,),，则由,且,O,为原点，知,A,(2,0),，,B,(2,1),，,C,(0,1),从而,2,，,y,1),，,d,|,y,1|.,代入 得,(1,k,),x,2,2(,k,1),x,y,2,0,为所求的轨迹方程,当,k,1,时，得,y,0,，轨迹为一条直线；,当,k,1,时，得,(,x,1),2,若,k,0,，则轨迹为圆；,若,k,1,，则轨迹为双曲线；,若,0,k,1,或,k,0,，则轨迹为椭圆,=(2,0),=(0,1),(2),因为 所以方程表示椭圆,对于方程,(,x,1),2,当,0,k,1,时，,a,2,1,，,b,2,1,k,，,c,2,a,2,b,2,1,(1,k,),k,，,此时,当,k,0,时，,a,2,1,k,，,b,2,1,，,c,2,k,，,所以,所以,领悟,在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线,(,如本例,(1),，另外在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论,1,(2009,全国卷,),设双曲线,(,a,0,，,b,0),的渐,近线与拋物线,y,x,2,1,相切，则该双曲线的离心率等于,(,),B.2,解析：,双曲线的渐近线方程为,y,与拋物线方程联立得,x,2,1,0,，,(),2,4,0,b,2,4,a,2,，,c,2,a,2,4,a,2,，,c,2,5,a,2,，,e,答案：,C,2,(2008,山东高考,),若圆,C,的半径为,1,，圆心在第一象限，且,与直线,4,x,3,y,0,和,x,轴都相切，则该圆的标准方程是,(,),A,(,x,3),2,1,B,(,x,2),2,(,y,1),2,1,C,(,x,1),2,(,y,3),2,1 D.,(,y,1),2,1,解析：法一：,由题意知圆心坐标为,(,x,0,1),，,排除,A,、,C.,选项,B,中圆心,(2,1),到直线,4,x,3,y,0,的距离,即,d,r,成立,法二：,由题意设圆心为,(,x,0,1),，,d,r,，,1,x,0,2,或,x,0,(,舍去,),答案：,B,3,(2007,山东高考,),设,O,是坐标原点，,F,是抛物线,y,2,2,px,(,p,0),的焦点，,A,是抛物线上的一点，与,x,轴正向的夹角为,60,，,则 为,(,),解析：,设,则,A,又,A,在,y,2,2,px,上，,p,2,pt,，,解得,t,2,p,，,t,(,舍,),，,A,答案：,B,4,(2010,汕头模拟,),中心在原点，焦点在,x,轴上的双曲线的实,轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双,曲线方程为,(,),A,x,2,y,2,2 B,x,2,y,2,C,x,2,y,2,1 D,x,2,y,2,解析：,设双曲线方程为,x,2,y,2,(,0),，渐近线方程为,y,x,，焦点到直线的距离,c,2,，,2,c,2,4,，,2.,答案：,A,5,(2010,日照模拟,),过点,A,(1,，,1),，,B,(,1,1),且圆心在直线,x,y,2,0,上的圆的方程是,(,),A,(,x,3),2,(,y,1),2,4,B,(,x,3),2,(,y,1),2,4,C,(,x,1),2,(,y,1),2,4,D,(,x,1),2,(,y,1),2,4,解析：,设圆心,C,(,a,2,a,),，则,|,AC,|,|,BC,|.,(,a,1),2,(3,a,),2,(,a,1),2,(1,a,),2,，,a,1,，,r,2,，,C,(1,1),圆的方程为,(,x,1),2,(,y,1),2,4.,答案：,C,6,(2009,广东高考,),已知椭圆,G,的中心在坐标原点，长轴在,x,轴上，离心率为 ，且,G,上一点到,G,的两个焦点的距离,之和为,12,，则椭圆,G,的方程为,_,解析：,由题意得,2,a,12,，所以,a,6,，,c,3,，,b,3,，故椭圆,G,的方程为,=1.,答案：,7,(2010,珠海模拟,),已知双曲线,=1,的离心率,为 则,n,_.,解析：,若焦点在,x,轴上：,a,2,n,，,b,2,12,n,，,c,2,a,2,b,2,12,，,e,n,4.,若焦点在,y,轴上，,a,2,n,12,，,b,2,n,，,c,2,a,2,b,2,12,不合题意故,n,4.,答案：,4,8,(2009,安徽高考,),已知椭圆,=1(,a,b,0),的离心,率为 ，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线,y,x,2,相切,(1),求,a,与,b,；,(2),设该椭圆的左、右焦点分别为,F,1,和,F,2,，直线,l,1,过,F,2,且,与,x,轴垂直，动直线,l,2,与,y,轴垂直，,l,2,交,l,1,于点,P,.,求线段,PF,1,的垂直平分线与,l,2,的交点,M,的轨迹方程，并指明曲线,类型,解：,(1),由,得,又由原点到直线,y,x,2,的距离等于圆的半径，,得,(2),法一：,由,c,得,F,1,(,1,0),，,F,2,(1,0),设,M,(,x,，,y,),，则,P,(1,，,y,),由,|,MF,1,|,|,MP,|,，,得,(,x,1),2,y,2,(,x,1),2,，,y,2,4,x,.,此轨迹是抛物线,法二：,因为点,M,在线段,PF,1,的垂直平分线上，所以,|,MF,1,|,|,MP,|,，即,M,到,F,1,的距离等于,M,到,l,1,的距离,此轨迹是以,F,1,(,1,0),为焦点，,l,1,：,x,1,为准线的抛物线，轨迹方程为,y,2,4,x,.,9,(2008,北京高考,),已知,ABC,的顶点,A,，,B,在椭圆,x,2,3,y,2,4,上，,C,在直线,l,：,y,x,2,上，且,AB,l,.,(1),当,AB,边通过坐标原点,O,时，求,AB,的长及,ABC,的面积；,(2),当,ABC,90,，且斜边,AC,的长最大时，求,AB,所在直,线的方程,解：,(1),因为,AB,l,，且,AB,边通过点,(0,0),，所以,AB,所在,直线的方程为,y,x,.,设,A,，,B,两点坐标分别为,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),由 得,x,1,，,所以,|,AB,|,又因为,AB,边上的高,h,等于原点到直线,l,的距离，,所以,(2),设,AB,所在直线的方程为,y,x,m,.,由 得,4,x,2,6,mx,3,m,2,4,0.,因为,A,，,B,在椭圆上，所以,12,m,2,640.,设,A,，,B,两点坐标分别为,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),则,x,1,x,2,所以,|,AB,|,|,x,1,x,2,|,又因为,BC,的长等于点,(0,，,m,),到直线,l,的距离，,即,|,BC,|,所以,|,AC,|,2,|,AB,|,2,|,BC,|,2,m,2,2,m,10,(,m,1),2,11.,所以当,m,1,时，,AC,边最长,(,这时,12,640),，此时,AB,所在直线的方程为,y,x,1.,10,(2010,南通模拟,),已知椭圆,x,2,1(0,b,1),的左焦,点为,F,，左、右顶点分别为,A,、,C,，上顶点为,B,，过,B,、,F,、,C,作圆,P,，其中圆心,P,的坐标为,(,m,，,n,),(1),当,m,n,0,
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