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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,函数的单调性,函数的单调性,1,问题,1,阅读课本引言的内容，回答下列问题：,整体概览,（,1,）为什么要研究函数的性质？,（,2,）什么叫函数的性质？,（,3,）函数的性质主要有哪些？,（,4,）如何发现函数的性质？,通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；,变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；,比如随着自变量的增大函数值是增大,还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；,的特征，可以发现函数的一些性质,先画出函数图象，通过观察和分析图象,问题1阅读课本引言的内容，回答下列问题：整体概览（1）为,问题,2,观察图,1,、图,2,、图,3,中的函数图象，你能说说图,1,与图,2,（或图,3,）的区别吗？,图,1,图,2,图,3,图,1,的特点是：从左至右始终保持上升；,图,2,与图,3,的特点是：从左至右有升也有降,问题导入,问题2观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图,问题,3,你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？,用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）,新知探究,问题3你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？用,问题,4,如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？,追问,1,你能说说函数,f,（,x,）,x,2,的单调性吗？,画出它的图象，如图，,由图可知：当,x,0,时，,y,随着,x,的增大而减小，,就说,f,（,x,）,x,2,在区间（，,0,上是单调递减的；,当,x,0,时，,y,随着,x,的增大而增大，,就说,f,（,x,）,x,2,在区间,0,，）上是单调递增的,新知探究,问题4如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（,追问,2,如何用数量关系精确刻画“在区间,0,，）上，,f,（,x,）,x,2,的函数值随自变量的增大而增大”？,借助软件，在,y,轴右侧任意改变,A,，,B,的位置，,只要点,A,的横坐标大于点,B,的横坐标，,就会有点,A,的纵坐标大于点,B,的纵坐标,将图象上的规律用函数的解析式表示出来，,就可以得到函数,f,（,x,）,x,2,在区间,0,，）上满足：,若,x,1,，,x,2,0,，）且,x,1,x,2,，就有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,新知探究,追问2如何用数量关系精确刻画“在区间0，）上，f（,追问,3,虽然上述改变,A,，,B,的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？,x,1,，,x,2,0,，）且,x,1,x,2,，,f,（,x,1,）,x,1,2,，,f,（,x,2,）,x,2,2,，,根据不等式的性质,7,就可以得到,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,新知探究,追问3虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所,追问,4,你能类似地描述,f,（,x,）,x,2,在区间（，,0,上是减函数并证明吗？,若,x,1,，,x,2,0,，）且,x,1,x,2,，,就有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,证明：,x,1,，,x,2,（，,0,且,x,1,x,2,，,f,（,x,1,）,x,1,2,，,f,（,x,2,）,x,2,2,，,根据不等式的性质,4,和性质,7,就可以得到,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,新知探究,追问4你能类似地描述f（x）x2在区间（，0上是,追问,5,函数,f,（,x,）,|,x,|,，,f,（,x,）,x,2,各有怎样的单调性？,f,（,x,）,|,x,|,在区间（，,0,上单调递减，,在区间,0,，）上单调递增；,f,（,x,）,x,2,在区间（，,0,上单调递增，,在区间,0,，）上是单调递减,新知探究,追问5函数f（x）|x|，f（x）x2各有怎样的单,新知探究,问题,4,如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？,图,1,图,2,如果,x,1,，,x,2,D,，,当,x,1,x,2,时，都有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），,f,（,x,）在区间,D,上单调递增（如图,1,）,如果,x,1,，,x,2,D,，,都有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），,那么就称函数,f,（,x,）在区间,D,上单调递减（如,那么就称函数,当,x,1,x,2,时，,图,2,）,新知探究问题4如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而,如果函数,y,f,（,x,）在区间,D,上单调递增或单调递减，那么就说函数,y,f,（,x,）在这一区间具有（严格的）单调性，区间,D,叫做,y,f,（,x,）的,单调区间,当函数,f,（,x,）在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为,增（减）函数,新知探究,单调性定义：,如果函数yf（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函,问题,5,（,1,）设,A,是区间,D,上某些自变量的值组成的集合，而且,x,1,，,x,2,A,，当,x,1,x,2,时，都有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），我们能说函数,f,（,x,）在区间,D,上单调递增吗？你能举例说明吗？,（,2,）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？,新知探究,问题5（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且,问题,5,（,1,）设,A,是区间,D,上某些自变量的值组成的集合，而且,x,1,，,x,2,A,，当,x,1,x,2,时，都有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），我们能说函数,f,（,x,）在区间,D,上单调递增吗？你能举例说明吗？,新知探究,（,1,）不能，,比如函数,f,（,x,）,x,2,，,当,A,1,，,2,，,3,，,D,1,，,3,时，,符合,x,1,，,x,2,A,，,当,x,1,x,2,时，都有,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），,但,f,（,x,）在区间,D,上不是单调递增的,问题5（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且,问题,5,（,2,）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？,新知探究,（,2,）,f,（,x,）,x,在整个定义域上单调递增；,f,（,x,）（,x,1,）,2,在区间（，,1,上单调递减，,在区间,1,，）上单调递增,问题5（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举,例,1,根据定义，研究函数,f,（,x,）,kx,b,（,k,0,）的单调性,解：,函数,f,（,x,）,kx,b,（,k,0,）的定义域是,R,x,1,，,x,2,R,，且,x,1,x,2,，则,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）（,kx,b,）（,kx,b,）,k,（,x,1,x,2,）,由,x,1,x,2,，得,x,1,x,2,0,于是,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,0,，即,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,这时，,f,（,x,）,kx,b,（,k,0,）是增函数,所以，,新知探究,当,k,0,时，,k,（,x,1,x,2,）,0,例1根据定义，研究函数f（x）kxb（k0）的单调,解：,当,k,0,时，,k,（,x,1,x,2,）,0,于是,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,0,，即,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,这时，,f,（,x,）,kx,b,（,k,0,）是减函数,新知探究,例,1,根据定义，研究函数,f,（,x,）,kx,b,（,k,0,）的单调性,解：当k0时，k（x1x2）0于是f（x1）,例,2,物理学中得玻意耳定律,p,（,k,为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大试对此用函数的单调性证明,证明：,任取,V,1,，,V,2,（,0,，），且,V,1,V,2,，,由,V,1,，,V,2,（,0,，），得,V,1,V,2,0,，,由,V,1,V,2,，得,V,2,V,1,0,，,则,p,1,p,2,，,新知探究,例2物理学中得玻意耳定律p （k为正常数）告诉我们,证明：,又,k,0,，所以,p,1,p,2,0,，即,p,1,p,2,，,也就是说，当体积,V,减小时，压强,p,将增大,所以函数,p,（,k,为正常数）在区间（,0,，）上单调递减,例,2,物理学中得玻意耳定律,p,（,k,为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大试对此用函数的单调性证明,新知探究,证明：又k0，所以p1p20，即p1p2，也就是说，,追问,你能总结用定义证明函数,f,（,x,）在区间,D,上的单调性的步骤吗？,第一步：,在区间,D,上任取两个自变量的值,x,1,，,x,2,D,，,在区间,1,，）上单调递增,第二步：,计算,f,（,x,1,）,f,（,x,2,），,将,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）分解为若干可以直接确定符号的式子，,简记为“作差、变形”；,新知探究,追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步,追问,你能总结用定义证明函数,f,（,x,）在区间,D,上的单调性的步骤吗？,第三步：,确定,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）的符号,若,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,0,，则函数在区间,D,上单调递增；,若,f,（,x,1,）,f,（,x,2,）,0,，则函数在区间,D,上单调递减,简记为“断号、定论”,新知探究,追问你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步,例,3,根据定义证明函数,y,x,在区间（,1,，）上的单调递增,证明：,x,1,，,x,2,（,1,，），且,x,1,x,2,，,则,y,1,y,2,（,x,1,）（,x,2,）（,x,1,x,2,）（）,（,x,1,x,2,）（,x,1,x,2,）（,1,）,（,x,1,x,2,）（）,新知探究,例3根据定义证明函数yx 在区间（1，）上的,证明：,由,x,1,，,x,2,（,1,，），得,x,1,1,，,x,2,1,，,所以,x,1,x,2,1,，,x,1,x,2,1,0,由,x,1,x,2,，得,x,1,x,2,0,，,于是（,x,1,x,2,）（）,0,，即,y,1,y,2,所以，函数,y,x,在区间（,1,，）上的单调递增,例,3,根据定义证明函数,y,x,在区间（,1,，）上的单调递增,新知探究,证明：由x1，x2（1，），得x11，x21，所以,追问,你能用单调性定义探究,y,x,在整个定义域内的单调性吗？,x,1,x,2,0,，,x,1,x,2,0,，,所以当,x,1,，,x,2,（,0,，,1,）时，,x,1,x,2,1,0,，,则,y,1,y,2,0,，即,y,1,y,2,，,y,x,的定义域为（，,0,）（,0,，）,当,x,1,，,x,2,（,0,，）时，在,y,1,y,2,（,x,1,x,2,）（）中，,所以,y,x,在区间（,0,，,1,）上单调递减,新知探究,追问你能用单调性定义探究yx 在整个定义域内的,追问,你能用单调性定义探究,y,x,在整个定义域内的单调性吗？,同理可得，函数,y,x,在区间（，,1,）上单调递增，,在区间（,1,，,0,）上单调递减,新知探究,追问你能用单调性定义探究yx 在整个定义域内的,问题,6,回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：,归纳小结,（,1,）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？,（,2,）你能总结研究单调性的过程和方法吗？,（,1,）概念及步骤略,（,2,）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质,问
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