《向量数乘运算及其几何意义》教学设计

一、教学目标1 .知识与技能：通过实例，掌握向量数乘运算，理解其几何意义，理解向量共线 定理。熟练运用定义、运算律进行有关计算，能够运用定理解决向量 共线、三点共线、直线平行等问题。2 .过程与方法：理解掌握向量共线定理及其证明过程， 会根据向量共线定理判断 两个向量是否共线。3 .态度情感与价值观：通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成 的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。 激发学生学习数学 的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度， 勇于创新的精神。二、教学重难点重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线定理。难点：向量共线定理的探究及其应用。三、课型：新授课四、教法：探究释疑和多媒体辅助教学的方法五、教具：多媒体及课件辅助教学六、教学过程（一）引入1 .复习向量的加法、减法，（温故而知新），采用提问的形式。问题1:向量加法的运算法则？问题2:向量减法的几何意义？学生回答完毕后，教师通过多媒体上的图像让学生更直观感受。C向量的加法：三角形达则.（首星相再和工行手电形法则（共起点） 向量的减法：OAa,OBb则BAab。（共起点，连终点,方向指向被减数）2 .问题情境：一质点从点。出发做匀速直线运动，若经过1s的 位移对应的向量用a表示，那么在同方向上经过3s的位移所对应的向 量可用 来表示。这是何种运算的结果？启发学生发现：这些公式都是实数与向量间的关系3 .【探究11已知非零向量a,作出a a a和（a）（ a）,你能说处他们的几何 意义吗？aOaa a A二 T .T-ab -a-ap问题1:相加后，和的长度和方向有什么变化？问题2:这些变化与哪些因素有关？生：3a与a方向相同且3可3可;生：2a与a方向相反且 2 a 2 a师：非常好！教师通过多媒体，看长度和方向的图像变化形式。（二）新课讲解1 .实数与向量的积的定义请大家根据上述问题弁作一下类比， 看看怎样定义实数人与向量 a的积？启发学生从以下角度思考： a是向量？长度？方向？根据学 生总结，让学生看大屏幕。2 .一般地，我们规定实数人与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a ,它的长度和方向规定如下：（1） a | |a（2）当人0时，a的方向与a的方向相同； 当入o时，a的方向与a的方向相反。由（1）可知，当0或a 0时，a 0探究2】问题-a：触作向量3（2a）和6a （ a为非零向量），弁进行比较。a a a a a a2a2a2a问题二：已知向量a、b,求作向量2(a b)和2a 2b,弁进行比较。将全班划分为2个小组，组内同学展开讨论，提出方法弁自主探究。 教师在学生中进行巡视，了解学生的进展情况，弁适时加以引导。在 整个过程中，同学们都能积极思考问题，参与的热情很高。)师：鼓励学生踊跃回答生：结论：3(2a)6a ,(2 4)a 2a 4a 2(a b) 2a 2b类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律：设a、b为任意向量，、为任意实数，则有:结合律：(a) ( )a第一分配律：( )a a a第二分配律： (a b) a b为了降低难度，教科书不要求对三个运算律作证明，只要求学生会用。小注：实数与向量可以求积，但不能进行加减运算。例1：计算(口答)（2） ( 3) 4a (2) 3(a b) 2(a b) a (3) (2a 3b c) (3a 2b c)设计意图：要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律。教学中， 不能让学生将本题简单地看作字母的代数运算，可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义，使学生明确向量数乘运算的特点。解：(1)原式=12a(2) 原式=(3 2 1)a (3 2)b 5b(3)原式=(2 3)a (3 2)b (1 1)c a 5b 2c剖析：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意向量a、b及任意实数、，恒有(1a 2b) 1a 2bo3、向量共线定理思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的 位置关系吗？2生：数乘向量与原向量是共线的 。【探究3】问题1：如果b a（a 0）,那么，向量a与b是否共线？问题2： b与非零向量a共线，那么，b a ?（学生分成两组，各选一问进行研究，然后同学之间相互交流，最后提升结论。教师巡视，适时加以引导，了解学生进展情况）生：对于向量a（a 0）、b,如果有一个实数 ，使得b a,那 么，由数乘向量的定义知：向量 a与b共线。生：若向量a与b共线，a 0,且向量b的长度是a的长度的 倍,即有忖 补当a与b同方向时,有b a；当a与b反方向时，有b a,所以始终有一个实数，使b a。师：如果没有a 0的限制，会有什么结果？（学生惊讶，没有限制会怎么样呢？马上进入思考状态。）生：问题1成立。0与任意向量都是共线向量。生：问题2不成立。向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯个实数 ，使得b a评析：i.让学生正确理解定理包含的两层意思。也就是将来我们 在选修中学到的充要条件。2 .让学生自己先体验；若无此限制，会有什么结果？再感悟到只 有用非零向量，才能表示与它共线的所有向量。3 .通过分组讨论后，集同学们的劳动成果、智慧于一体，彼此之间再进行交流，充分体现了 “众人拾柴火焰高”o例2.已知任意两非零向量 a、b ,试作OA a b, OB a 2b , OC a 3b。你能判断A B、C三点之间的位置关系吗？为什么？设计意图：利用向量共线判断三点共线的方法， 这是判断三点共线常用的方法。教学中可以先让学生作图，通过观察图形得到A、B、解：依图观察，知A B、C三点共线OCAC三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向 量共线证明三点共线，本题主要引导学生理清思路， 具体过程可由学 生完成。证明如下: AC OC OA (a 3b) (a b) 2b又 AB OB OA (a 2b) (a b) bAC 2AB ,又而与AC有公共点A, A B、C三点共线。评析：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系， 再利用它们有一个公共点，得到三点共线。教学中利用多媒体作图， 进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一 条直线上的规律。（三）课堂小结通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解向量共线定理，弁能在解题中加以运用。1 .概念与定理a的定义及运算律。 向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有唯个 实数，使得b a2 .知识应用:证明向量共线; 证明三点共线：两向量共线且有一个公共点若AB BC ,即AB与BC共线且有一个公共点 B,则A、BC三点共线；证明两直线平行:AB CD直线AB /直线CD。CD6AB CD不重合七、作业 ： P92 9-12单位：天津市蓟县上仓中学授课教师：冯涛日期： 2016 年 12 月 21 日