二次型的标准型与规范型课件

第二节,标准形的定义,正交线性替换法,配方法,二次型的标准形与规范形,初等变换法,二次型的规范形,第二节标准形的定义正交线性替换法配方法二次型的标准形与规范形,一、标准形的定义,定义,二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)经过非退化,线性替换,x=Cy,所变成的如下形式(只含平方项),y,T,By=d,1,y,1,2,+,d,2,y,2,2,+,d,r,y,r,2,(,r,n,)(4.5),的二次型称为二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)的,标准形,.,不难看出，二次型(4.5)的矩阵,B,为,n,阶对角,矩阵.,即,B,=,C,T,AC,=diag(,d,1,d,2,d,r,0,0).,一、标准形的定义定义 二次型 f(x1,x2,二次型的标准型与规范型课件,二、用正交线性替换法,化二次型为标准形,任一(实)二次型一定可以通过正交线性替换化为标准形.,二、用正交线性替换法化二次型为标准形任一(实)二次型一定可以,例 1,用正交线性替换化下列二次型为标准形,并求出所作的正交线性替换:,例 1 用正交线性替换化下列二次型为标,一般地，用正交线性替换将二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,x,T,Ax,(其中,A,T,=,A,)化为标准形的步骤如下:,Step1,求出二次型矩阵,A,的全部特征值,1,2,n,;,Step2,求出正交矩阵,P,，使,P,T,AP,=diag(,1,2,n,);,Step3,作正交线性替换,X,=,PY,，其中,Y,=(,x,1,x,2,x,n,),T,R,n,，则二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)化为标准形,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,n,y,n,2,.,一般地，用正交线性替换将二次型f(x1,x2,三、用配方法,化二次型为标准形,例 2,用配方法把三元二次型,化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.,例 3,用配方法化二次型,为标准形.,三、用配方法化二次型为标准形例 2 用配方法把三元二次,即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.,即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.,四、用初等变换法,化二次型为标准形,对,A,施以一系列行初等变换,对,施以一系列,同种列初等变换,P,s,T,P,2,T,P,1,T,AP,1,P,2,P,s,P,1,P,2,P,s,四、用初等变换法化二次型为标准形对A施以一系列行初等变换对施,例 4,用初等变换法化二次型,为标准形.,例 5,用初等变换法化二次型,为标准形.,例 4 用初等变换法化二次型为标准形.例 5 用,五、二次型的规范形,标准形唯一吗？,标准形不唯一,!,如果二次型,f,(,x,1,x,2,x,n,)=,x,T,Ax,(其中,A,T,=,A,)通过可逆线性替换可以化为,y,1,2,+,y,p,2,y,2,p,+1,y,r,2,(,p,r,n,),则称上式为该二次型的,规范形.,规范形中,正项的个数,p,称为二次型的,正惯性指标,负项个数,rp,称为二次型的,负惯性指标,.,r,是二次型的秩.,p,(,r,p,)=2,p,r,称为二次型的,符号差,五、二次型的规范形标准形唯一吗？标准形不唯一!如果二次型 f,定理 4.4,任一二次型,f,(,x,1,x,2,xn,),都可以通过可逆线性替换化为规范形，且规,范形是唯一的.,推论,1,任一实对称矩阵A都与对角矩阵,合同,其中,1,和,1,的个数共有,r,个,r,为二次型的秩.,推论 2 两个实对称矩阵合同的充分必要条件,是它们具有相同的正惯指数和秩.,定理 4.4 任一二次型 f(x1,x,二次型的标准型与规范型课件,