数学建模中的模型求解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模中的模型求解,数学建模中的模型求解,主讲人：,数理系 李璐,数据处理,规划问题,每年的赛题在变化，方法的使用也有很大的不确定性，但纵观历史赛题，这些赛题又有很多的共性。主要体现在模型的分类上。相同类别的模型其求解方法有很多相似之处。,模型问题分类,可用的数学方法,CUMCM,典型问题,预测类问题,拟合、回归、插值、神经网络、灰度预测、小波分析等,2003A,、,2005A,、,2007A,连续性优化问题,拟合、回归、插值、微分、求极值,2002A,、,2008,、,2009A,离散型优化问题,目标规划模型,2002B,、,2003B,、,2004A,、,2004B,、,2005B,、,2006A,、,2007B,、,2009B,数据处理,数据处理是数学建模的基础，通常遇到的问题是对采集到的数据进行处理和分析，从而得到这些数据所反映的信息。本质是，将数据反映的信息转换为数学表达式。,数据量较大时，,MATLAB,的数据处理优势更加明显。,数据量较大时，,MATLAB,的数据处理优势更加明显。,数据处理,趋势分析,数据,函数表达式,2007,年电工杯全国数学建模竞赛,供水量数据,最简单、常用的方法,插值和拟合,1.1,数据的输入,Excel,与,MATLAB,的交互：,记事本与,MATLAB,的交互：,使用,MATLAB,中的,Excel Link,工具插件,使用,MATLAB,中的,load,函数,MATLAB,中的,Excel Link,工具插件,用户可以不脱离,Excel,环境，在,Excel,工作表空间和宏编辑工具中使用,MATLAB,的数值计算和图形处理功能，并且实现两个工作环境的数据交换和同步更新。,具体步骤：,步骤,1,：在目录,MATLABtoolboxexlink,文件夹下找到,excllink.xla,文件，双击；,步骤,2,：在,Excel,中多了一个,Excel Link,工具条，即可交互使用,应用实例,1.2,数据拟合,曲线拟合也成为曲线逼近，与插值函数有些区别，只要求拟合的曲线能合理地反映数据的基本趋势，并不要求曲线一定通过数据点。曲线拟合有几种不同的判别准则，如使偏差的绝对值之和最小、使偏差的最大绝对值最小和使偏差的平方和最小（即最小二乘法）。常用的方法是最后一种。,曲线拟合工具箱,1.3,数据预测,在数学建模中经常会遇到数据的预测问题,年度,类别,题目,2003,A,题,SARS,的传播问题,2005,A,题,长江水质的评价和预测问题,2006,B,题,艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题,2007,A,题,中国人口增长预测问题,灰色模型,预测结果比较稳定，不仅适用于大数据量的预测，在数据量较少时,(,大于,3),预测结果也较准确。,人工神经网络,1.3.1,灰色模型的数学理论,灰色系统认为：系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。,灰度预测对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物的未来发展趋势。,最常用,GM,模型,单序列一阶线性,微分方程模型,基本步骤,（,1,）原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，得到新数据序列：,其中：中各数据表示对应前几项数据的累加。,（,2,）对 建立 的一阶线性微分方程：,其中：,a,u,为待定系数,只要求出参数,a,u,，,就能求出 ，从而求出 的未来预测值。,（,3,）对累加生成数据做均值生成,B,与常数项向量,Y,（,4,）用最小二乘法求解灰参数,(5),将灰参数 代入 进行求解，得,由于 是通过最小二乘法求出的近似值，所以 是一个近似表达式。,(6),对函数表达式 和 进行离散化，并将二者做差得到,灰色模型的,MATLAB,程序,(1),对原始数据进行累加。,(2),构造累加矩阵,B,与常数向量,Y,。,(3),求解灰参数。,(4),将参数带入预测模型进行数据预测。,实例：已知某公司,1999-2008,年的利润,(,单位：元,/,年,),：,89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670,，预测该公司未来几年的利润情况。,MATLAB,程序,图形,灰色模型的应用实例,CUMCM2005A,长江水质的预测：对附件,4,的数据进行整理预测,10,年的长江污水量排放数据,年份,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,污水量,/,亿吨,174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285,MATLAB,程序,结果图,1.3.2,人工神经网络,人工神经网络基本理论,人脑中大约有,1000,多亿个神经元。人脑结构错综复杂使得从人脑科学中抽象出来的人工神经网络具有信息并行处理的能力、自学习能力和推理能力。,人工神经网络是由大量简单的基本元件,-,神经元相互连接，通过模拟人的大脑神经处理信息的方式，进行信息并行处理以及自学习能力。前向反馈,(,back propogation,BP,),网络和径向基,(,radical basis function,RBF,),网络是目前技术最成熟、应用范围最为广泛的两种网络。,BP,BP,网络基本数学原理,BP,网络是一种多层前馈神经网络，调整网络权值的训练算法是反向传播算法,-BP,学习算法,神经网络结构,输入,输出,BP,网络是一种具有三层或者三层以上神经元的神经网络，包括输入层、中间层,(,隐含层,),和输出层。,上下层之间实现全连接，同一层的神经元之间无连接；,输入神经元与隐含层神经元之间是网络的权值，表示两个神经元之间的连接强度；,隐含层或输出层任一神经元将前一层所有神经元传来的信息进行整合，通常还会在整合过的信息中添加一个阈值,(,模仿生物学中神经元必须达到一定的阈值才会触发的原理,),，然后将整合过的信息作为该层神经元输入；,一对学习样本提供给输入神经元后，神经元的激活值,(,该层神经元输出值,),从输入层经过各隐含层向输出层传播，在输出层的各神经元获得网络的输入响应，然后按照减少网络输出与实际输出样本之间误差的方向，从输出层反向经过各隐含层回到输入层，从而逐步修正各连接权值,-,误差反向传播算法,。,算法核心,负梯度,下降,网络的调整方向总是沿着误差下降最快的方向进行,常见三层,BP,网络权值和阈值调整公式：,MATLAB,神经网络工具箱,网络创建函数：,神经元激励函数：,网络学习函数：,网络训练函数：,性能函数：,newff,常使用,S,型对数或者正切函数和线性函数,梯度下降权值、阈值学习函数,梯度下降,BP,算法训练函数,mse,均方误差性能函数,net=newff,net=newff(PR,S1 S2,SN,TF1 TF2,TFN,BTF,BLF,PF),PR,:,每组输入元素的最大值和最小值组成的,R,2,矩阵；,Si,：第,i,层的长度，共计,N,层；,TFi,：第,i,层的激励函数，默认为,tansig,；,BTF,：网络的训练函数，默认为,trainlm,；,BLF,：权值和阈值的学习算法，默认为,learngdm,；,PF,：网络的性能函数，默认为,mse,；,输入神经元个数,激励函数,logsig,S,型的对数函数,n=-8:0.1:8;,a=logsig(n);,plot(n,a),使用算法为,绘制激励函数,logsig,tansig,为双曲正切,S,型激励函数,使用算法为,绘制双曲正切S型激励函数,n=-5:0.1:5,a=tansig(n),plot(n,a),BP,网络的输出量为,0-1,或者,-11,之间的连续值。如果在网络学习过程中，实际输出样本值远远超出该区间，需要对训练样本进行预处理，否则神经网络无法收敛或学习速度慢,构建神经网络时的注意事项,(1),神经元节点数,输入节点数,m,：实际问题的维数，与网络性能无关,隐含层节点数,l,：目前没有统一的规范，常使用经验公式,a,为,1-10,之间的常数,输出节点数,n,：实际问题的维数,(2),数据预处理和后期处理,归一化处理：将每组数据都变成,-1-1,之间的数，可用函数,premnmx,，也可直接利用公式,premnmx,函数,pn,minp,maxp,tn,mint,maxt=premnmx(p,t),P,为,RQ,维输入矩阵,(,R:,输入神经元节点数,Q,：每个神经元的长度,),t,为,SQ,维目标矩阵,(,S:,输出神经元节点数,Q,：每个神经元的长度,),pn,为标准化后的,RQ,维输入矩阵,tn,为标准化后的,SQ,维目标矩阵,minp,为,R1,维包含,p,的每个分量最小值的向量,maxp,为,R1,维包含,p,的每个分量最大值的向量,mint,为,S1,维包含,t,的每个分量最小值的向量,maxt,为,S1,维包含,t,的每个分量最大值的向量,函数使用算法,应用实例：公路运量预测,公路运量主要包括公路客运量和公路货运量两个方面。据研究，某地区的公路运量主要与该地区的人数、机动车数量和公路面积有关，,下表,给出了某地区,20,年的公路运量相关数据。根据相关部门数据，该地区,2010,年和,2011,年的人数分别为,73.39,和,75.55,万人，机动车数量分别为,3.9635,和,4.0975,万辆，公路面积分别为,0.9880,和,1.0268,万平方千米。请运用,BP,网络预测该地区,2010,年和,2011,年的公路客运量和公路货运量。,BP,网络,求解,过程,原始数据的输入数据归一化网络训练,对原始数据进行仿真,将原始数据仿真的结果与已知样本进行对比,对新数据进行仿真,基于,MATLAB,工具箱的求解,自编源程序的求解,网络学习曲线,原始数据与仿真数据的对比图,原始数据与仿真数据的对比图,