资源描述
,基础知识,一、等差、等比数列的综合问题,(1)若,a,n,是等差数列，则数列,c,a,n,(,c,0，,c,1)为,数列；,(2)若,a,n,为正项等比数列，则数列log,c,a,n,(,c,0，,c,1)为,数列；,(3)若,a,n,既是等差数列又是等比数列，则数列,a,n,为,等比,等差,常数列,二、与银行利率相关的几类模型,1银行储蓄单利公式,利息按单利计算，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,x,，则本利和,y,2银行储蓄复利公式,按复利计算利息的一种储蓄，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,x,，则本利和,y,.,3产值模型,原来产值的基础数为,N,，平均增长率为,p,，对于时间,x,的总产值,y,.,a,xar,a,(1,xr,),a,(1,r,),x,N,(1,p,),x,4分期付款模型,a,为贷款总额，,r,为月利率，,b,为月等额本息还款数，,n,为贷款月数，则,b,易错知识,一、审题错误,1已知,a,n,是递增数列，且对任意,x,N,*,，都有,a,n,n,2,n,恒成立，则实数,的取值范围是(),A(，)B(0，),C2，)D(3，),答案：,D,解题思路：,a,n,是递增数列，,a,n,1,a,n,，,即(,n,1),2,(,n,1),n,2,n,.,2,n,1对于,n,N,*,恒成立，,而2,n,1在,n,1时取得最大值3，,3，故选D.,错因分析：,数列是特殊的函数，可以用动态函数的观点研究数列，但必须时刻注意其,“,特殊,”,性，即：定义域为,n,N,*,.本题常出现如下错误：,错解：,a,n,n,2,n,(,n,，对称轴,n,当,n,1时为递增数列，则 从而得,2.故选C.,二、实际应用错误,2假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到另一年底，,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？,(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?,解析：,(1)设中低价房面积形成数列,a,n,，由题意可知,a,n,是等差数列，其中,a,1,250，,d,50，则,S,n,250,n,5025,n,2,225,n,.,令25,n,2,225,n,4750，,即,n,2,9,n,1900，而,n,是正整数，,n,10.,到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米,(2)设新建住房面积形成数列,b,n,，由题意可知,b,n,是等比数列，其中,b,1,400，,q,1.08，,则,b,n,400(1.08),n,1,，,由题意可知,a,n,0.85,b,n,，,有250(,n,1)50400(1.08),n,1,0.85.,由计算器解得满足上述不等式的最小正整数,n,6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.,回归教材,1(教材,P,114,6题改编)夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7，已知山顶气温是14.1，山脚的气温是26，那么此山相对于山脚的高度是(),A1500米B1600米C1700米D1800米,解析：,因,a,1,26，,a,n,14.1，,d,0.7.,a,n,a,1,(,n,1),d,，14.126(,n,1)(0.7),n,18，其高度为(181)1001700.,答案：,C,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,11/15/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/15,2024/11/15,15 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2024/11/15,2(教材,P,125,3题改编)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂成两个)经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成(),A511个B512个,C1023个D1024个,解析：,a,10,a,1,q,9,2,9,512(个),答案：,B,3等比数列,a,n,的公比为,q,，则“,q,1”是“对于任意自然数,n,，都有,a,n,1,a,n,”的(),A充分不必要条件,B必要不充分条件,C充要条件,D既不充分又不必要条件,解析：,当,a,1,0时，条件与结论均不能由一方推出另一方,答案：,D,4设等比数列,a,n,的公比为,q,，前,n,项和为,S,n,，若,S,n,1,，,S,n,，,S,n,2,成等差数列，则公比(),A,q,2B,q,1,C,q,2或,q,1 D,q,2或,q,1,解析：,由题意可得2,S,n,S,n,1,S,n,2,，当,q,1时，,即2,q,q,2,，,解之得,q,2或,q,1，当,q,1时不成立,答案：,A,5(教材改编题),A,、,B,两个工厂2009年元月份的产值相等，,A,厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，,B,厂产值也逐月增加且月增长率相同，而2010年元月份两厂的产值又相等，则2009年7月份产值高的工厂是_,解析：,设两工厂的月产值从2009年元月起依次组成数列,a,n,，,b,n,，,由题意知,a,n,成等差数列，,b,n,成等比数列，并且,a,1,b,1,，,a,13,b,13,.由于,a,n,成等差数列，,即2009年7月份A厂产值高于B厂产值,答案：,A厂,【例1】,(2006辽宁高考)在等比数列,a,n,中，,a,1,2，前,n,项和为,S,n,，若数列,a,n,1也是等比数列，则,S,n,等于(),A2,n,1,1B3,n,C2,n,D3,n,1,命题意图,本题主要考查等比数列的概念、求和公式等综合应用,解析,解法一：由,a,n,为等比数列可得,a,n,1,a,n,q,，,a,n,2,a,n,q,2,，,由,a,n,1为等比数列可得(,a,n,1,1),2,(,a,n,1)(,a,n,2,1)，,故(,a,n,q,1),2,(,a,n,1)(,a,n,q,2,1),化简上式可得,q,2,2,q,10，解得,q,1,故,a,n,为常数列，且,a,n,a,1,2，,故,S,n,n,a,1,2,n,，故选C.,解法二：设等比数列,a,n,的公比为,q,，,则有,a,2,2,q,且,a,3,2,q,2,令,a,n,1,b,n,则有,b,1,3，,b,2,2,q,1，,b,3,2,q,2,1,又数列,b,n,为等比数列，,(2,q,1),2,3(2,q,2,1)，,解得,q,1，以下同解法一,解法三：运用特殊与一般的数学思想，令,a,n,2，显然符合题意，故数列,a,n,1也符合题意，故,S,n,na,1,2,n,.可见，在数列问题中，常数列往往可以作为一种典型的模型予以考虑,答案,C,(2009,浙江嘉兴一中,),各项都是正数的等比数列,a,n,中，,a,2,，,a,3,，,a,1,成等差数列，则 的值为,(,),答案：,B,解析：,由题意可知：,a,3,a,1,a,2,，,q,2,1,q,，解得：(舍去)，所以选B.,【例2】,银行按规定，每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后立即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较这两种方案哪个获利更多(计算结果精确到10,3,元，参考数据：1.1,10,2.594，1.3,10,13.786),思路点拨,甲方案中，每年的获利组成一等比数列，乙方案中每年的获利组成一等差数列，分别计算出10年的净获利之和作比较即可,解析,甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前,n,项的和1(130%)(130%),2,(130%),9,42.62(万元),到期时银行贷款的本息为,10(110%)1010,2.59425.94(万元)，,甲方案扣除贷款本息后净获利,426225.94,16.7(万元)；,乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利,1(10.5)(120.5),(19,0.5),而贷款本息为,11,1(110%),(110%),9,乙方案扣除贷款本息后，净获利为,325017.53,15.0(万元),比较可知，甲方案获利多于乙方案获利,即甲方案比乙方案获利多,某林场有荒山3250亩，从2009年1月开始在该荒山上植树造林，且保证每年种树全部成活第一年植树100亩，以后每年都比上一年多植树50亩,(1)问至少需几年才可将此荒山全部绿化；,(2)如果新种树苗每亩的木材量为2立方米，树木每年的自然增材率为10%，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这里树木的木材量总共为多少立方米？(1.1,11,2.85),解析：,(1)设至少需要,n,年才可将此荒山全部绿化,第一年植树,a,1,100亩，第,n,年植树,a,n,与第,n,1年植树,a,n,1,满足,a,n,a,n,1,50.,每年植树,a,n,构成等差数列,S,n,100,n,3250，,n,2,3,n,130,0，,即(,n,13)(,n,10),0，,n,10.,故至少需要10年才能将此荒山全部绿化,(2)设树木的木材量总共为,M,立方米,M,2(,a,1,1.1,10,a,2,1.1,9,a,3,1.1,8,a,9,1.1,2,a,10,1.1)，,1.1,a,1,1.1,11,a,2,1.1,10,a,3,1.1,9,a,9,1.1,3,a,10,1.1,2,，,1.1,a,1,1.1,11,(,a,2,a,1,)1.1,10,1.1,9,1.1,2,a,10,1.1，,005,M,1001.1,11,501.1,10,1.1,9,1.1,2,550,1.1,100,2.8550,605,285820605,500，,M,10000立方米,故这里木材总量为10000立方米.,【例3】设函数,f,(,x,)(,a,，,b,为常数，,a,0)，若,f,(1),，且,f,(,x,),x,只有一个实根,(1)求,f,(,x,)的解析式；,(2)若数列,a,n,满足关系式,a,n,f,(,a,n,1,)(,n,N,*,，且,n,2)，又,a,1,，求,a,n,的通项公式；,(3)设,b,n,，求,b,n,的最大值与最小值，以及相应的,n,值,分析,(1)利用函数与方程的思想；,(2)利用函数构造新数列,(3)利用函数的单调性，从而求出数列最大项与最小项,解析,(1)由,f,(1)可得,a,b,3.,又由,f,(,x,),x,0，得,x,ax,(1,b,)0.,方程只有一个实数根，,得,b,1，,a,2，则,f,(,x,),(2)由,a,n,f,(,a,n,1,)，得,a,n,是等差数列，又,2005，,20052(,n,1)2,n,2007，,a,n,(3)由(2)知,b,n,且,n,1003时，,b,n,单调递增且大于1；当,n,1003时，,b,n,单调递增且小于1.,当,n,1003时，,b,n,最大值为3；,当,n,10
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