系统的因果性和稳定性

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,要点,LSI,系统因果稳定性定义及判断方法,时域离散系统的输入输出描述及求解方法,线性常系数差分方程、初始条件与系统特性之间的关系,1.3.4,系统的因果性和稳定性,因果系统,(causality system),若系统,n,时刻的输出，只取决于,n,时刻以及,n,时刻以前的输入序列，而与,n,时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。,LSI,系统是因果系统的充要条件：,满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为,(n),的零状态响应，在,n=0,时刻以前即,n0,时，没有加入信号，输出只能等于零，,注：关于此条件的严格证明可参考程佩青,数字信号处理教程,1.3.4,系统的因果性和稳定性,如果,n,时刻的输出还取决于,n,时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。非因果模拟系统是不可实现的系统。,非因果数字系统是可以近似实现的系统。,1.3.4,系统的因果性和稳定性,一个非因果数字系统地实现,1.3.4,系统的因果性和稳定性,实际系统一般是因果系统,对图象、已记录数据处理以及做平滑处理的系统不是因果系统,在判断时必须把输入信号的影响与系统中定义的其他函数区分开来，,如,y(n)=,x,(n)sin(n+2),是因果系统,在判断时必须考虑全部时间变量,如,y(n)=x(n-k),是有条件因果系统,1.3.4,系统的因果性和稳定性,稳定系统,(stability system),稳定系统是有界输入产生有界输出的系统,数学描述：若,LSI,系统是稳定系统的充要条件,：,则,LSI,系统是稳定系统的充要条件,证明,先证明充分性。即若,h(n),满足绝对可和条件,则输入有界输出必有界。,因为输入序列,x(n),有界，即,|x(n)|B,-n B,为任意常数,则有,下面用反证法证明其必要性。如果,h(n),不满足,那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令,n=0,说明输入,有界,结论：,因果稳定的,LSI,系统的单位抽样响应是因果序列，且是绝对可和的，即：,例,1.3.6,设线性时不变系统的单位取样响应,式中,a,是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,只有当,|a|1,时,例：某,LSI,系统，其单位抽样响应为,试讨论其是否是因果的、稳定的。,有条件稳定,例,1.3.7,设系统的,),单位取样响应,h(n)=u(n),，求对于任意输入序列,x(n),的输出,y(n),，并检验系统的因果性和稳定性。,y(n)=x(n)*h(n)=,因为当,n-k0,的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向,n0,的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是否是线性时不变因果稳定，还需要用初始条件进行限制。,差分方程与系统的关系,例,1,：已知常系数线性差分方程,（,1,）若边界条件,求其单位抽样响应。,（,2,）若边界条件,求其单位抽样响应，并判断是否为线性时不变系统。,对应一个因果系统,判断是否为线性时不变系统,1.一个,常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。,2.,我们以后讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。,注意：,作业,1-4,；,1-5,（,1,）（,3,）（,5,）（,7,）,1-6,（,1,）（,3,）（,5,）；,1-7,1-8,下一讲内容及要点,要点,：,抽样过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？,奈奎斯特抽样定理的意义,?,由时域离散信号恢复模拟信号的过程称为内插恢复过程，该过程如何实现，时域如何描述？频域如何描述？,解：,1.,已知线性移不变系统的输入为,x(n),，系统的单位抽样响应为,h(n),，试求系统的输出,y(n),，并画图。,2,已知一个线性时不变系统的单位抽样响应 除区间 之外皆为零；又已知输入 除区间 之外皆为零；设输出 除区间 之外皆为零，试以 和 表示和 。,本题的目的旨在解释当参与卷积的两序列为有限长时，如何确定卷积和的非零区间。,解：,对线性移不变系统，有,对 ，非零值的区间为,对 ，非零值区间为,得输出 的非零值区间,3.,判断以下系统是否是（,1,）线性（,2,）移不变（,3,）因果（,4,）稳定的？,满足叠加原理,是线性系统,不是移不变系统,因为系统的输出只取决于当前输入，与未来输入无关。所以是因果系统,若 有界,当 时，输出有界，系统为稳定系统,当 时，输出无界，系统为不稳定系统,满足叠加原理,是线性系统,是移变系统,当 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入,而当 时，输出还取决于未来输入,是非因果系统,当 时，,是不稳定系统,