第2讲矢性函数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,矢量分析与场论,第2讲 矢性函数,张元中,中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院,矢量分析与场论第2讲 矢性函数,1,主要内容,1.矢性函数的概念,2.矢端曲线,3.矢性函数的极限和连续性,4.矢性函数的导数,5.矢性函数的微分,6.矢性函数的导数公式,教材：第1章，第1节，第2节,主要内容1.矢性函数的概念,2,常矢,：矢量的模和方向都保持不变。,变矢,：模和方向或其中之一发生变化。,1.矢性函数的概念,标量函数,：标量 随参量 的变化。,矢量函数,：矢量 随参量 的变化。,常矢：矢量的模和方向都保持不变。1.矢性函数的概念标量函数：,3,1.矢性函数的概念,矢性函数：,设有数性变量 和变矢 ，如果对于 在某个范围 内的每一个数值，都有一个确定的矢量和它对应，则称 为数性变量 的,矢性函数,，记作：,并称 为函数 的定义域。,1.矢性函数的概念矢性函数：设有数性变量 和变矢 ，如,4,1.矢性函数的概念,矢性函数的坐标函数分量也是 的函数。,1.矢性函数的概念矢性函数的坐标函数分量也是 的函数。,5,2.矢端曲线,自由矢量：,当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这两个矢量相等。,矢端曲线：,矢量 的终点 随参量 的变化曲线 称为矢性函数 的,矢端曲线,，也称为矢性函数的,图形。,2.矢端曲线自由矢量：当两个矢量的模和方向相同时，可以认为这,6,2.矢端曲线,矢量方程：,当定义随 增大的方向为 的走向，则矢端曲线 为,有向曲线,。,为矢性函数 的矢量方程。,2.矢端曲线矢量方程：当定义随 增大的方向为 的走向,7,2.矢端曲线,参数方程：,矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系。,矢性函数 对应矢端曲线 的参数方程。,2.矢端曲线参数方程：矢性函数与参数方程之间有一一对应的关系,8,2.矢端曲线,例：,圆柱螺旋线的参数,方程（P3图1-3）：,其矢量方程为：,2.矢端曲线例：圆柱螺旋线的参数方程（P3图1-3）：其矢量,9,2.矢端曲线,例：,摆线的,参数方程（P3图1-4）：,其矢量方程为：,2.矢端曲线例：摆线的参数方程（P3图1-4）：其矢量方程为,10,3.矢性函数的极限和连续性,定义：设矢性函数 在点 的某个领域内有定义（但在 处可以没有定义），为一常矢，若对于任意给定的正数 ，都存在一个正数 ，使当 满足 时，有：,成立，则称 为矢性函数 当 的极限，记作：,矢性函数极限与数性函数完全类似。,3.矢性函数的极限和连续性定义：设矢性函数 在点,11,3.矢性函数的极限和连续性,为数性函数；，为矢性函数，当 均存在极限。,矢性函数极限的运算法则,3.矢性函数的极限和连续性 为数性函数；，,12,3.矢性函数的极限和连续性,矢性函数的极限，归结为求三个数性函数的极限。,3.矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限，归结为求三个数性函,13,3.矢性函数的极限和连续性,连续性定义：若矢性函数 在点 的某个领域内有定义，而且有：,矢性函数 在 处连续的充要条件是：,都在 处连续。,则称 在 处连续。,3.矢性函数的极限和连续性连续性定义：若矢性函数 在,14,4.矢性函数的导数,矢性函数的增量：,为 的增量，表示为：,4.矢性函数的导数矢性函数的增量：为 的增量，表示,15,4.矢性函数的导数,导数的定义：设矢性函数 在点 的某一领域内有定义，并设 也在这个领域之内，增量的比值为：,在 时，其极限存在，则称此极限为 在 处的导数（简称,导矢,），表示为：,4.矢性函数的导数导数的定义：设矢性函数 在点,16,4.矢性函数的导数,导数的分量表示：,在点 处可导。,4.矢性函数的导数导数的分量表示：在点 处可导。,17,4.矢性函数的导数,例,1,：,圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）：,求导矢,解：,4.矢性函数的导数例1：圆柱螺旋线的矢量方程（P3图1-3）,18,4.矢性函数的导数,例,2,：,设,试证明：,证：,4.矢性函数的导数例2：设试证明：证：,19,4.矢性函数的导数,例,2,：,设,试证明,证：,4.矢性函数的导数例2：设试证明证：,20,4.矢性函数的导数,例2：,设,试证明,证：,4.矢性函数的导数例2：设试证明证：,21,4.矢性函数的导数,为一单位矢量，其矢端曲线为一单位圆，因此也叫做,圆函数,。,亦为一单位矢量，其矢端曲线也为一单位圆。,4.矢性函数的导数 为一单位矢量，其矢端曲线为一,22,4.矢性函数的导数,是在 的割线 上的一个矢量。,时，其极限为 点的切线位置。,导矢在几何上为一矢端曲线的,切向矢量,，并始终指向对应,增大,的方向。,4.矢性函数的导数 是在 的割线 上的一,23,5.矢性函数的微分,微分的概念：,设有矢性函数 ，把,称为 在 处的,微分。,微分与导矢的几何意义相同，为矢量矢端曲线的切线。，与导矢的方向一致；，与导矢的方向相反。,5.矢性函数的微分 微分的概念：称为 在,24,5.矢性函数的微分,微分的计算表达式：,或：,矢性函数的微分，归结为求三个数性函数的微分。,5.矢性函数的微分 微分的计算表达式：或：矢性函数的微分，归,25,5.矢性函数的微分,解：,例,3,：,设,，求 及 。,5.矢性函数的微分解：例3：设，求 及 。,26,5.矢性函数的微分,的几何意义：,矢性函数,矢性函数,微分,微分的模,5.矢性函数的微分 的几何意义：矢性函数 矢性函数,27,5.矢性函数的微分,的几何意义：,弧长微分,即：,矢性函数微分的模，等于（其矢端曲线的）弧微分的绝对值。,5.矢性函数的微分 的几何意义：弧长微分即：矢性函数微,28,5.矢性函数的微分,的几何意义：,得到：,矢性函数对（其矢端曲线的）弧长 的导数在几何上为,一切向单位矢量，恒指向 增大的方向。用 表示,。,5.矢性函数的微分 的几何意义：得到：矢性函数对（其矢,29,5.矢性函数的微分,矢端切线方向的,方向余弦,5.矢性函数的微分矢端切线方向的方向余弦,30,5.矢性函数的微分,例,4,：,试证明,证：,5.矢性函数的微分例4：试证明证：,31,5.矢性函数的微分,可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式,例,4,：,试证明,5.矢性函数的微分可以得到：矢端曲线的切向单位矢量的计算公式,32,5.矢性函数的微分,解：,例5：,求圆柱螺旋线 的切向单位矢量 。,5.矢性函数的微分解：例5：求圆柱螺旋线,33,6.矢性函数的导数公式,设矢性函数 及数性函数 在 的某个范围内可导，则以下公式成立：,（1）,（为常矢量）,（2）,（4）,（3）,（为常数）,6.矢性函数的导数公式设矢性函数 及数性函数,34,6.矢性函数的导数公式,（5）,（）,（6）,（7）,复合函数求导：,6.矢性函数的导数公式（5）（）（6）,35,1.矢性函数导数公式的应用,证明,（5）,：,证：,1.矢性函数导数公式的应用证明（5）：证：,36,6.矢性函数的导数公式,证明（5）：,证：,令 两端取极限，得到：,6.矢性函数的导数公式证明（5）：证：令 两,37,6.矢性函数的导数公式,例：设 三阶可导，证明,（,习题1第5题,）,证：,6.矢性函数的导数公式例：设 三阶可导，证明（习题1,38,Homework 1,作业,P19 习题1：1，2，3，4,Homework 1作业,39,