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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学建模,Mathematical Modelling,一实际问题,随着经济的进展，金融正越来越多地进入一般人的生活：贷款、保险、养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平，其中贷款利率(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者)如表1所列，其后，西安商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，以下的表2和表3分别列出了报章公布个人住房商业抵押贷款年利率和银行供给的个人住房商业抵押贷款(万元)还款额的局部数据(仅列出了五年)。,第十讲,个人,住房抵押贷款模型,表1：中国人民银行公布新的贷款利率,贷款期限,半年,一年,三年,五年,五年以上,利率,(%),6.12,6.39,6.66,7.20,7.56,表2：西安商业银行公布新的贷款利率,贷款期限,一年,两年,三年,四年,五年,利率,(%),6.12,6.255,6.39,6.525,6.66,表3：个人住房商业抵押贷款还款额的局部数据(五年),贷款,期限,年,1,2,3,4,5,月,12,24,36,48,60,月还款额,一次还本付息,444.3560,305.9896,237.2649,196.4118,本息总额,10612.00,10664.54,11015.63,11388.72,11784.71,二、模型假设,1.在较长的时期内中心银行存贷款利率保持不变。,2.在较长时期内职工收入相对稳定，具有足够的归还,力气。,3.仅考虑因贷款而应支付的利息，不考虑其它所需费,用如贷款的手续费、公正费等。,三、模型的分析及建立,以商业性贷款10000元为例来考察，一年期贷款的年,利率为6.12，到期一次还本付息总计10612元，这很容,易理解.然而二年期贷款的年利率为6.255，月还款数,444.356元为本息总额10664.54元的二十四分之一，这后,两个数字究竟怎样产生的呢？是依据本息总额算出月还款,数还是恰好相反从6.255似乎不那么明显能得到,10664.54？让我们略微认真一些来进展分析.由于贷款,是逐月等额归还的，就有必要考察每个月欠款余额的状况.,设贷款后第k个月时欠款余数为Ak元,月还款为m元，则由Ak变化到Ak+1，除了还款数外，还有什么因素参与？无疑就是利息.但时间仅过了一个月，固然应当用月利率，设其为r,从而得到,Ak+1-Ak=rAk-m,或者,Ak+1=1+rAk-m (1),连同开头的贷款数,A0=10000 (2),这就是问题的数学模型.,我们知道月利率,r,与年利率,R,关系,（1+,r,),12,=,R+,1,根据微分近似计算公式可得,所以,即月利率近似为年利率,R,平均,故取年利率为,R,=0.06255，其月利率为,（3）,假设m是的，则由式(1)可以依次求出Ak中的每一项，我们称(1)为差分方程.,四问题的解法与争论,.月还款额,二年期的贷款在第24个月时还清,即,A,24,=0 (4),为求,m,的值,令,B,k,=,A,k,-,A,k,-1,k,=1,2,(5),由式(5)和(6),可知,从而得到差分方程(1)的解,将A24、A0、r 的值和k=24代入，可解得m=444.3560(元),这与表3中的数额完全全都,这样我们就了解了还款额确实定方法.,表3：个人住房商业抵押贷款还款额的局部数据(五年),贷款,期限,年,1,2,3,4,5,月,12,24,36,48,60,月还款额,一次还本付息,444.3560,305.9896,237.2649,196.4118,本息总额,10612.00,10664.54,11015.63,11388.72,11784.71,（7）,我们知道还款数额表的制定依靠于年利率的变化，而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些有用的结论.,表1：中国人民银行公布新的贷款利率,贷款期限,半年,一年,三年,五年,五年以上,利率,(%),6.12,6.39,6.66,7.20,7.56,表2：西安商业银行公布新的贷款利率,贷款期限,一年,两年,三年,四年,五年,利率,(%),6.12,6.255,6.39,6.525,6.66,首先留意表2商业性贷款利率中有两个数据与中心银行公布的表1中数据一样，不过相应的贷款年限则放宽了一档：6.12是一年期而在表1中是上一档半年期,6.66是五年期而在表1中是上一档三年期.,其次再考察表2商业性贷款二、三、四年的利率，我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者,答案将是简洁的.,依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表.,.还款周期,我们知到个人住房贷款是实行逐月归还的方法,虽然依据的最初利率是年利率.那么假照实行逐年归还的方法,状况将如何呢?,仍以二年期贷款为例,明显,只要对公式(7)中的月利率r=0.0052125代之以年利率R=0.06255,那么由k=2,A2=0,A0=10000,则可求出年还款额应为,这样本息总额将为,(元),这远远超出逐月还款的本息总额10664.54(元).,留意到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款者是适宜的.,那么缩短还款周期对于贷款本息总额的影响如何？这是值得争论的一个问题.读者可以做进一步的争论.,我们回到差分方程(1),若令,A,k,+1,=,A,k,=,A,可解出,(8),称之为差分方程(1)的平衡点或不动点.,.平衡点,显然，当初始值 时,将恒有.,我们回到差分方程(1),若令,A,k,+1,=,A,k,=,A,可解出,(8),称之为差分方程(1)的平衡点或不动点.,.平衡点,显然，当初始值 时,将恒有.,在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率,r,和月还款额,m,是固定的,则当初始贷款额为 时,每月还款额恰,对一般的差分方程,Ak+1=f(Ak),(9),当时始值稍大于或小于差分方程的平衡点,假设,AkA0 (k)(10),好,抵上利息，因此所欠款始终保持不变.而当初始贷款额稍大于或小于 时，从方程解的表达式(7)容易看出：欠款额,A,k,随着,k,的增大越来越远离 ,这种情况下的平衡点称为不稳定的.,则称,A,为稳定的，否则，称,A,为不稳定的.,判别平衡点,A,是否稳定的一个方法是考察导数:,当 ,A,是稳定的；当 ,A,是不稳定的.,平衡点和它的稳定性是在差分方程及其应用中十,分重要的概念。,五其他问题,在金融乃至经济等其他领域中，很多问题的数学模型都可以用差分方程来表达.这里再介绍两个典型的例子.,.养老保险,养老保险是与人们生活亲切相关的一种保险类型.通常保险公司会供给多种方式的养老金预备让投保人选择，在预备中具体列出保险费和养老金的数额.例如某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开头领取养老金的商定下,男子假设25岁起投保,届时月养老金2282元；假设35岁起投保，月养老金1056元；假设45岁起投保，月养老,金420元.我们来考察这三种状况所交保险费获得的利率.,设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额为Fk，p,q分别表示60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(单位:元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金,的时间(单位:月).那么很简洁得到数学模型,明显M依靠于投保人的寿命,我们取M为该保险公司养老金预备所在地男性寿命的统计平均值75岁.以25岁起投保,为例。,于是,如同推出差分方程(1)的解那样,不难得到,在式(13)中取k=N而在式(14)中取k=M并留意到F0=0，FM=0,这样只要消去FN,就可以导出关于r的一个方程:,整理得,记,x,=,r,+1,且将已知数据代入,则只需求解方程,（16）,利用,Newton,法借助计算机编程或用数学软件能很方便求出方程的实根,不过注意我们要求的根显然略大于1,高次方程(16)可能有另一些根在其附近,因此求解的初始值应作选择并对所得的根是否合理进行分析.可以得出,对于35岁起和45岁起投保的状况，易得保险金所获得的月利率分别为0.00461和0.00463.,由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的计算是比较简洁的。但通过分析，我们对其总体的利率还是可以得到大致的估量.,.金融公司的支付基金的流淌,某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在寻常可以使用,但每周末结算时必需确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务状况,觉察每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司,有10支付基金流淌到B城公司，B城公司则有12支付基金流淌到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?假设金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作特地调动来避,免这种情形?,设此后第k周末结算时,A,城公司和,B,城公司的支付基金数分别为,a,k,和,b,k,(单位:万美元),那么有,这是一个差分方程组,连同初始条件,给出了这个问题的数学模型.通过依次迭代,可以求出各周末时,a,k,和,b,k,的数值,下表列出了1至12周末两公司的基金数(单位：万美元),k,a,k,b,k,k,a,k,b,k,1,267.6,272.4,7,288.477,251.523,2,273.528,266.472,8,289.812,250.188,3,278.152,261.848,9,290.854,249.146,4,281.758,258.242,10,291.666,248.334,5,284.572,255.428,11,292.299,247.701,6,286.766,253.234,12,292.793,247.207,可以看出A城公司支付基金数在逐步增加,但增幅逐步变小;B 城公司的基金数变化则正好相反.然而ak是否有上界、bk是否有下界?bk是否会小于220？我们还是不能断言.进展更多的迭代或许得出更明显的提示,不过这里将不再进展了.,解决这问题不止一种方法,若利用线性代数的知识将差分方程组(17)写为矩阵的形式,其中(a0,b0)T=(260,280)是初始值.从式(20)动身,无论进展迭代计算或者分析求得原问题(17)、(18)的解都较为简洁,请读者完成自己这项工作,在解决的过程中回忆前面介绍的平衡点及其稳定性是特殊有益的.,那么我们就可以得到,1.确定表2中二、三、四年期贷款的利率是如何产生的(可以用图象来帮助分析)，然后推导出相应的一至五年,万元贷款的还款额表与表3比较验证.,2.试制定一张完整的个人住房商业贷款(万元)利率和还款表,贷款期从一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期(年、月)，年利率，月利率，月还款额和本息总额.留意个人住房十年期贷款的年利率为7.20，十年以上贷,款年利率不变，仍为7.20.,作业七,3.小李夫妇曾经预备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元,22年还清,不过由于中介费、手续费等缘由，贷款时要预付4000元.小李考虑，虽然预付费用不少，可是削减三年还款期意味着削减还款近1万6千元，而每月多跑一趟，那不算什么，这机构的条件似乎还是蛮优待的.试分析状况,是否这样？,4.从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付出较少的本息总额，那么逐周还款状况又将如何？考虑是,否有必要实行尽可能短的周期(比方每日一次)还款？,7.依据两地公司的业务状况，该金融机构预备在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金削减$6万.此时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额
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