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,-,#,-,4.2.1,4.2.2,对数运算对数运算法则,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,4,.,2,.,1,4,.,2,.,2,对数运算,对数运算法则,4.2.14.2.2对数运算对数运算法则,【新教材】新人教B版-高中数学必修第二册-4,一,二,三,四,一、对数的概念,1,.,你会求下列方程吗,?,(1)2,x,=,8;,(2)2,x,=,1;,(3)3,x,=,2,.,提示,:,(1)(2),易求,满足,2,x,=,8,的,x=,3;,满足,2,x,=,1,的,x=,0;,但满足,3,x,=,2,的,x,没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定方程,3,x,=,2,存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需要引入本节课将要学习的,“,对数,”,.,一二三四一、对数的概念,一,二,三,四,2,.,填空,.,(1),一般地,对于指数式,a,b,=N,我们把,“,以,a,为底,N,的对数,b,”,记作,log,a,N,即,b=,log,a,N,(,a,0,且,a,1),.,其中,数,a,称为,对数的底数,N,称为,对数的真数,读作,“,b,等于以,a,为底,N,的对数,”,.,(2),以,10,为底的对数称为,常用,对数,即,log,10,N,记作,lg,N,.,(3),以无理数,e(e,=,2,.,718 28),为底的对数称为,自然,对数,即,log,e,N,记作,ln,N,.,一二三四2.填空.,一,二,三,四,3,.,为什么规定在对数,log,a,N,中,a,0,且,a,1,呢,?,(2),当,a=,0,N,0,时,不存在实数,x,使,a,x,=N,成立,无法定义,log,a,N.,当,a=,0,N=,0,时,任意非零正实数,x,有,a,x,=N,成立,log,a,N,不确定,.,(3),当,a=,1,N,1,时,不存在实数,x,使,a,x,=N,log,a,N,无意义,.,当,a=,1,N=,1,时,a,x,=N,恒成立,log,a,N,不能确定,.,一二三四3.为什么规定在对数logaN中,a0,且a1呢,一,二,三,四,一二三四,一,二,三,四,二、对数的性质,1,.,为什么零和负数没有对数,?,提示,:,因为,x=,log,a,N,(,a,0,且,a,1),a,x,=N,(,a,0,且,a,1),而当,a,0,且,a,1,时,a,x,恒大于,0,即,N,0,.,故,0,和负数没有对数,.,2,.,填写下表,:,3,.,做一做,:,使对数式,log,5,(3,-x,),有意义的,x,的取值范围是,(,),A.(3,+,)B.(,-,3),C.(0,+,)D.(,-,2),(2,3),答案,:,B,一二三四二、对数的性质3.做一做:使对数式log5(3-x),一,二,三,四,三、积、商、幂的,对数,一二三四三、积、商、幂的对数,一,二,三,四,2,.,填写下表,:,一二三四2.填写下表:,一,二,三,四,3,.,做一做,:,下列各等式中,正确运用对数运算性质的,是,(,其中,x,y,z,0)(,),答案,:,D,一二三四3.做一做:下列各等式中,正确运用对数运算性质的是答,一,二,三,四,四、对数的换底公式,1,.,填空,.,通过,换底公式可推导出两个重要的结论,:,(1)log,a,b,log,b,a=,1,(,a,0,a,1,b,0,b,1,);,一二三四四、对数的换底公式,一,二,三,四,答案,:,D,一二三四答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数式与指数式的互化,例,1,完成下表指数式与对数式的转换,.,答案,:,(1)lg 1 000,=,3,(2)3,2,=,9,(3)2,x,=,10,(4)ln,x=,3,解析,:,(1)10,3,=,1,000,log,10,1,000,=,3,即,lg,1,000,=,3,.,(2)log,3,9,=,2,3,2,=,9,.,(3)log,2,10,=x,2,x,=,10,.,(4)e,3,=x,log,e,x=,3,即,ln,x=,3,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析对数式与指数式的互化当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思,感悟,对数式与指数式的,关系,由,对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式,其关系如下表,:,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数式与指数式的关系,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数基本性质的,应用,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析对数基本性质的应用 当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,1,.,对数,恒等式,的,应用,(1),能直接应用对数恒等式的求值,.,(2),对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解,.,2,.,利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化,(1)log,a,x=,1,x=a,(,a,0,且,a,1),.,(2)log,a,x=,0,x=,1(,a,0,且,a,1),.,我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.对数恒等式,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,变式训练,2,求下列各式的值,:,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练2求下列各式的值:,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数,运算法则的应用,例,3,化,简下列各式,:,分析,:,利用对数的运算法则,将所给式子转化为积、商、幂的对数,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析 对数运算法则的应用分析:利,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟对数运算法则的使用技巧及注意事项,1,.,“,收,”:,同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等,然后化简求值,如,log,2,4,+,log,2,5,=,log,2,20,.,2,.,“,拆,”:,将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值,如,.,3,.,各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于,0,且不等于,1,真数大于,0,.,4,.,注意,“,同底,”,这个化简的方向,因为同底的对数才可能利用对数的运算法则,.,5,.,要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义,.,6,.,不仅要会正向运用对数的运算法则,还要学会其,“,逆用,”,和,“,变形用,”,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟对数运算法则的使用技,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数换底公式的,应用,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析对数换底公式的应用 当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,反思感悟,1,.,应用换底公式表示已知对数的两个策略,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.应用换底公式表示,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,2,.,利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式,(1),技巧,:“,化异为同,”,即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算,.,(2),常见的三种处理方式,:,借助运算性质,:,先利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底求解,.,借助换底公式,:,一次性地统一换为常用对数,(,或自然对数,),再化简、通分、求值,.,利用对数恒等式或常见结论,:,有时可熟记一些常见结论,这样能够提高解题效率,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析2.利用换底公式进行化简求值,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,延伸,探究,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究 当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,对数方程的求解方法,化归转化法,典例,解下列方程,:,(,2)lg,x+,2log,10,x,x=,2;,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析对数方程的求解方法化归转,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,方法,点睛,解对数方程可将其转化为同底数或换元转化为一元二次方程求解,注意在转化的过程中未知数的取值范围,解对数方程必须把所求的解代入检验,.,当堂检测,探究一探究二探究三探究四思维辨析方法点睛解对数方程可将其转化,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1,.,已知,3,m,=,7,则有,(,),A.3,=,log,7,m,B.7,=,log,3,m,C.,m=,log,7,3D.,m=,log,3,7,答案,:,D,解析,:,由于,a,x,=N,x=,log,a,N,则,3,m,=,7,m=,log,3,7,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.已知3m=7,则,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,2,.,(,多选,),有下列说法,:,任何一个指数式都可以化成对数式,;,以,a,(,a,0,且,a,1),为底,1,的对数等于,0;,以,3,为底,9,的对数等于,2;,其中,错误的为,(,),A.,B.,C.,D.,答案,:,ACD,解析,:,正确,错误,如,(,-,2),2,=,4,(,-,1),2,=,1,等不能化成对数式,;,因为,log,3,9,=,log,3,3,2,=,2,所以,错误,;,因为,log,3,(,-,5),无意义,所以,错误,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.(多选)有下列说,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3,.,已知,lg 2,=a,lg 3,=b,则,log,3,6,等于,(,),答案,:,B,4,.,已知,4,a,=,2,log,a,x=,2,a,则正实数,x=,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测3.已知lg 2=a,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,答案,:,2,6,.,计算下列各式的值,:,(1)(lg 2),2,+,lg 5lg 2,+,lg 5;,(2)(1,-,log,6,3),2,+,log,6,2log,6,18,log,6,4,.,解,:,(1)(lg,2),2,+,lg,5lg,2,+,lg,5,=,lg,2(lg,2,+,lg,5),+,lg,5,=,lg,2lg,10,+,lg,5,=,lg,2,+,lg,5,=,lg,10,=,1,.,(2)(1,-,log,6,3),2,+,log,6,2log,6,18,log,6,4,=,(,log,6,2),2,+,(log,6,2),2,+,log,6,22log,6,3,2log,6,2,=,log,6,2,+,log,6,3,=,1,.,探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:2 6.计算下,
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