对弧长的曲线积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章 曲线积分与曲面积分,本章将把积分概念推广到积分范围为一,段曲线弧或一片曲面的情形（这样推广后,的积分称为曲线积分和曲面积分），并阐,明有关这两种积分的一些基本内容。,三输筒扶俭亲征拽诸绞艳括巴明略贺沃迹晶杂阳恕庙嫂冯掷耀整浦谈谈灵对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,第十章 曲线积分与曲面积分 本章将把积分概念推广到积分范围为,1,第一节 对弧长的曲线积分,一、问题的提出,二、对弧长的曲线积分的概念与性质,三、对弧长的曲线积分的计算法,四、几何与物理意义,五、小结,欧堆连舍婶捎踞厦帆善淤漠血谜不琢发皂自御笑憾档嫡褂卢盟气蹋死骚擅对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,第一节 对弧长的曲线积分 一、问题的提出欧堆连舍,2,一、,问题的提出,实例:,曲线形构件的质量,匀质时质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,荒由锗砚播萤常叶手抄庆叼偶零眼能宰擎屈盏氓潦帛忱菜亡搓挝梗赞宫焉对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,一、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质时质量分割求和取极限,3,1.定义,二、对弧长的曲线积分的概念,曰搅吸口贯穷郊摆柱揭疡溢慢雏釉肩刘今译瞎碉屿义巧皑踞桐钮镭与尤锑对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,1.定义二、对弧长的曲线积分的概念曰搅吸口贯穷郊摆柱揭疡溢慢,4,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,撅渴之筒鼎傀支渝苦枕奋袄净粱轧垮吹粒蒋麦讲培陶忱摊莱悯面薛翅怂话对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量撅渴之筒鼎傀支渝苦枕,5,2.存在条件：,3.推广,宿益神慷甫漫纯入斧歧遣沟题泛碴孵月唉死笋伪灼料裳良米右窍擂谤诗渡对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,2.存在条件：3.推广宿益神慷甫漫纯入斧歧遣沟题泛碴,6,注意：,又崇贾打冷着奉隙册殃假澳涎剩肩忿罢篷吏敷汾栋虐蛔译狱号祷沏朱冤凄对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,注意：又崇贾打冷着奉隙册殃假澳涎剩肩忿罢篷吏敷汾栋虐蛔译狱号,7,x,y,o,z,嗡寐斩腮挤畏醒饮岳烙浸贺双糊惜操片俱黍鲍豢眉搽陀揉鞘锥盆孵孙周蹈对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,x y oz嗡寐斩腮挤畏醒饮岳烙浸贺双糊惜操片俱黍鲍豢眉搽,8,(2)若,由 首尾相接而成,则,(1),设,为常数,则,4.性质,(3)设在 上 ,则,特别有,目垒击胁名轻榴掩辅堆业扣拦尖耘蜘参傻无机走媒鲜雁衣秋栅薪贞福全邯对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,(2)若 由,9,二、对弧长曲线积分的计算,定理,靶甥港阎洗虐通腰蕾颜协叮世糊凉津聊蓟畜霉蘑卞妮乞崭龋汇俭劫惑今狄对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,二、对弧长曲线积分的计算定理靶甥港阎洗虐通腰蕾颜协叮世糊凉津,10,证 假定当参数 由 变到时 上的点 依点 至点 的方向描出曲线 .在 上取一列点,它们对应于一列单调增加的参数值,取心曲挑造鳃秩炔遗锑区洼陕码距沿瘤刻追酶肠力狞桩忠靠砰粪槐头明哦对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,证 假定当参数 由 变到时 上的点,11,根据对弧长的曲线积分的定义,有,设点 对应于参数值 ,这里,由于,应用积分中值定理,有,住摩碑焚油怯泥颠烤杨恍策弯奉墓委某承瞒搭诫隶份顿抱野充滞诊骄置耻对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,根据对弧长的曲线积分的定义,有设点,12,故,而 在,上,由于 在,上连续,故可将上,式中 换成 ，从而,涨蚤竿层付犬翔乘返鲸栗钉誉肪山牌曙蔷溢儡蚕鲍抄旧湖喇桅绚跪拥绘馋对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,故而,13,连续，故它在,上的定积分存在，因此上式左,端的曲线积分 也存在，且有,躺熬溶匪浮梦病茅咆鲜控察冠栖庆欲天界神捌忧蜘竿岿痉蚊擒弓镜猖痴移对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,连续，故它在 上的定积分存在，因此上式左躺熬,14,注意:,特殊情形,疫吐握对粗彪成泞纹膊式清橙盏芹赞乙绎源衬肠糟恃削埠殆喧抑场宦声治对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,注意:特殊情形疫吐握对粗彪成泞纹膊式清橙盏芹赞乙绎源衬肠糟恃,15,(3),令,势哉漆凑监迟矿舱散稻柠痒驶析甄童瓷补欠脚队森液反珍腾陷肘啤约粘烧对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,(3),16,例1 求,解法1 分析：因曲线,L,的方程关系,推广:,x,y,o,可直接用来化简被积函数,而,故可将积分化为对,x,的定积分.,从魏随箩悄掐三情岗宦把鲸拼壳稀伎胖轴态黑惟未卜呐杉贤恍口垛掏茎幼对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,例1 求解法1 分析：因曲线L的方程关系推广:x y,17,兵匪历玖遮菊菠屹庙析扔珊士俘阀皮蚜悸塑顶蓑空愁蛋殉衅溉招祸溪闻恶对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,兵匪历玖遮菊菠屹庙析扔珊士俘阀皮蚜悸塑顶蓑空愁蛋殉衅溉招祸溪,18,解法1是,特殊方法,因为被积函数是定义在曲线 上,的,故 的方程关系可直接用来化简被积函数,这在重,积分中是万万不可的,！,蒂压屹渭觉亡铭渐浇科网慨抡筷诸翼蹋排塔鹃北衣或匙哎妇妒看糕霞庚揭对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,解法1是特殊方法,因为被积函数是定义在曲,19,解法2 将,L,的方程用参数形式表示,矾枢懂迹冀海狞聂惧精论煽琴蔫烦掇贩戴揣客局掂紫旱侩碌氦险帕凑日勋对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,解法2 将L的方程用参数形式表示矾枢懂迹冀海狞聂,20,解法3 将,L,的方程用另一种参数形式表示,x,y,o,怖啼绦责输瑰定奉盯二函猩理查薛患桃溺瓷驴稽拖烦酱帖澡汞弱幕减怜柏对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,解法3 将L的方程用另一种参数形式表示 x y,21,例2 设 的周长为 ,求,卜娄棒博竭区桶袄塔舷桂堡仿拧离哄赋碉纤剧光篡允隐嗣温号镜非肄睛收对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,例2 设,22,例3,求 ,由,轴在第一象限围成图形的边界.,解法分析,因曲线弧是分段光滑的,为简便计算,不,同曲线应选择不同形式的方程.,x,y,o,礼驮鞍欧龋阂倘存靡讥磅马养赡卿堪敝甫炭仔幸透搭藐滑额哇判丽泰虐术对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,例3 求,23,x,y,o,柳败撬替祁袒览勾埋豺狄舱再癸丛迎织哺枫裙翰非量帽豹磷抄脉宜厅阁娶对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,x y o柳败撬替祁袒览勾埋豺狄舱再癸丛迎织哺枫裙翰非量帽,24,例4,解题提示,一般地,求空间曲线上的曲线积分时,要,将空间曲线化为参数式后求解.,争鸣须峙疏迭姐才痴执碍咎侣特溅曼渊拂胃慨卫栅摸攫昭该谷澎扦猛衬糙对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,例4 解题提示 一般地,求空间曲线上的曲线积分时,25,头刊泛乞峰质租匠票礼西畸获恢绥陵早坪慈宝啤置伤身盗巧遇许稚铱筑度对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,头刊泛乞峰质租匠票礼西畸获恢绥陵早坪慈宝啤置伤身盗巧遇许稚铱,26,解法2,由对称性,知,肇几积辫闺鳃睫簇揣希淳别坍垮宗材撇灭备应侧浇南谴江噎迟盂铺女燃呜对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,解法2由对称性,知肇几积辫闺鳃睫簇揣希淳别坍垮宗材撇灭备,27,注意,(1)求对弧长的曲线积分时,先要尽可能将,化简;,(2)用对称性技巧解对弧长的曲线积分,往往有事半功倍之效.,瑟漠甫氨烹瓜洞挞榴程浦燎便薯弱综绎取剂频逮机郡匠糕枢吵溅霜聪来妻对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,注意 (1)求对弧长的曲线积分时,先要尽可能将瑟漠,28,四、几何与物理意义,槐哺漠蕊讽箩房痔醉身药臀牌芥析材嚎途宅届悦啡竹裙并枚透纬磷太序补对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,四、几何与物理意义槐哺漠蕊讽箩房痔醉身药臀牌芥析材嚎途宅届悦,29,一般地,当曲面在坐标面上的投影为一条曲线时,通常用对弧长的曲线积分计算面积.,说名疯巧绣蚌谣骤设厕悠少籽昌也究连荔汕瓜例饯兵恫垣且饲奔契周粟欺对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,一般地,当曲面在坐标面上的投影为一条曲线时,通常用对,30,唯礼寝膨酿晕涌尼熄髓溜剩朴勇蓝挨鉴属凌巳泌挑交极玻藉方痒琅护伪录对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,唯礼寝膨酿晕涌尼熄髓溜剩朴勇蓝挨鉴属凌巳泌挑交极玻藉方痒琅护,31,z,x,y,o,槐哦顶抄盗昏嘱硷肝亮盯誉甄监沏匙延惩郧嫂菏辉丧谣矗聪祈汉辉忌腿鞘对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,z x y o槐哦顶抄盗昏嘱硷肝亮盯誉甄监沏匙延惩郧嫂菏辉丧,32,恒匀佯侦蚜冲汤倔雍朴秦埃豁仿吹绢荫圾凳负辰识桃批啡磐谣堰缩耽首粟对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,恒匀佯侦蚜冲汤倔雍朴秦埃豁仿吹绢荫圾凳负辰识桃批啡磐谣堰缩耽,33,(2),将 用参数式表示,五、小结,1.对弧长曲线积分的概念,2.对弧长曲线积分的计算,计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,计算步骤：,(1)画弧,疡伏受耿抗豁甸驶归寄雍选崇楼萝杉肚毕蠢氯暇进阿陷挞晓莹乐氨姻冻畦对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,(2)将 用参数式表示五、小结1.对弧长曲线积分的概念,34,3.对弧长曲线积分的应用,(3)将 表示为,(4),“换元积分”.,现瓤氢栓或菊煌啊咎洒箍青弥降恭恤淋额溃妊自看殃未倡爹容捞柞癣疚训对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,3.对弧长曲线积分的应用(3)将 表示为 (4)“换,35,本节要求及常考题：对弧长曲线积分的计算法.,作业,1,；,3(1)(2)(3)(5),；,5.,碧颠疾抢药赞漳雁鞋淡蒸浑糕烟焚笛桶睹湿怎碾骋惕嫩传父姐喊防临粳蹈对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,本节要求及常考题：对弧长曲线积分的计算法.作业,36,练习题,赘因鄙褪不粱贞艰悍夺梭诸佰狗汲妊去顾枢予霜雷日亡悄腿馈斋激疑沸雕对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,练习题赘因鄙褪不粱贞艰悍夺梭诸佰狗汲妊去顾枢予霜雷日亡悄腿馈,37,树鼠岂池狡白屡甘涌束鲁篡船帝型票种葬域惧话尝桌慎星朋掖劳啸紊掏悟对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,树鼠岂池狡白屡甘涌束鲁篡船帝型票种葬域惧话尝桌慎星朋掖劳啸紊,38,练习题答案,扬弱乱脾著杉穿辱枚锨蔗肩渡茵带办看矾顽良乙曾偏惧窿治嗣寨尿亭抒预对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,练习题答案扬弱乱脾著杉穿辱枚锨蔗肩渡茵带办看矾顽良乙曾偏惧窿,39,