第十一章-压杆的稳定性ppt课件

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第 11 章 压杆的稳定性,11-1 关于稳定性的概念,11-2 细长中心压杆的临界荷载,11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算,11-3 欧拉公式的适用范围临界应力总图,1,第 11 章 压杆的稳定性11-1 关于稳定性的概念,实际压杆存在的情况：,(1)本身不可能绝对地直；,(2)材质不可能绝对地均匀；,(3)轴向压力也会有偶然偏心。,F,11-1 关于稳定性的概念,压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。,2,实际压杆存在的情况：(1)本身不可能绝对地直；F11-1,杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所以即使在线弹性范围内工作，挠度也不与荷载成线性关系，挠度的增长要比荷载增长来得快。,细长压杆 始终在线弹性范围内工作，当,F,=,F,u,时，它便因挠度迅速增长而丧失继续承受荷载的能力。,3,杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所,中等长度压杆 当挠度增大到一定值时，杆便在弯压组合作用下因强度不足而丧失承载能力。,求压杆的承载力,F,u,，可采用两种不同的计算图式：,(1)把实际的压杆看作是荷载,F,有偶然偏心等的小刚度杆,(2)把实际的压杆看作是理想的中心压杆。,4,中等长度压杆 当挠度增大到一定值时，杆便在,取第一种计算图式，则得弯矩方程为：,M,(,x,)=,F,(,d,+,e,-,n,),代入挠曲线近似微分方程，利用边界条件得到：,如图所示。,无论初始偏心距,e,的大小如何变化，当,F,p,2,EI,z,/(2,l,),2,时,d,迅速增长，从而有极限荷载,5,取第一种计算图式，则得弯矩方程为：M(x)=F,根据上图所示偏心距,e,为不同值时的,F,d,图线可以推想：,若将实际压杆看作初始偏心距,e,为零的理想中心压杆，则其,F,d,关系应如下图(a)、(b)所示。,F,F,u,O,A,B,(b),F,d,关系,当,F,F,u,时杆的直线状态的平衡是稳定的（不可能弯曲）；,y,l,F,cr,F,x,(a)理想中心压杆,O,6,根据上图所示偏心距e为不同值时的F d 图线可以推想：,F,F,u,O,A,B,(b),F-,d,关系,当,F,=,F,u,时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平衡。,由上述分析可见，,F,达到,F,u,，杆便会失去原有直线状态平衡的稳定性失稳。,把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载,F,cr,（能保持微弯状态的荷载值）。,对于细长压杆：,F,cr,=,F,u,7,FFuOAB(b)F-d 关系 当F=,注意：,如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小值。,8,注意：如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆,11-2 细长中心压杆的临界荷载,理想中心压杆的临界荷载,F,cr,即为杆能保持微弯状态的荷载值。,在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。,9,11-2 细长中心压杆的临界荷载 理想中心,考虑下图细长压杆,在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形的影响，则其挠曲线近似微分方程为,y,z,得,y,l,F,cr,x,w,x,o,10,考虑下图细长压杆在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形,得挠曲线方程,w=A,sin,kx+B,cos,kx+,d,由边界条件,得,A,=0,，B,=,d,则,w,=,d,(1-cos,kx,),x=,0,w=,0,x=,0,w,=,0,显然，当方程成立时应有,y,l,F,cr,x,w,x,o,11,得挠曲线方程w=A sin kx+B cos kx+,即,d,=,d,(1-cos,kl,),得,cos,kl,=0,要满足上面的方程，则,kl,=,p,/2,3,p,/2,5,p,/2,取其最小值,kl,=,p,/2，代入,k,的表达式，得该压杆的,临界荷载,式中,I,z,是杆在,F,cr,作用下微弯时横截面对于中性轴,z,的,惯性矩,。,y,l,F,cr,x,w,x,o,12,即d=d(1-cos kl)得cos kl=0要,若截面是下面这种形式，则,y,z,y,l,F,cr,x,v,x,o,13,若截面是下面这种形式，则yzylFcrxvxo13,下图为一下端固定、上端铰支、长度为,l,的等截面中心受压直杆，杆横截面对,z,轴的惯性矩为,I,。试推导其临界力,F,cr,的公式，并求出压杆的挠曲线方程。,l,A,B,y,x,F,cr,例题 11-1,14,解：,在临界力,F,cr,作用下，根据此压杆支承处的约束情况，有,A,B,F,S,F,S,F,cr,F,cr,M,e,l-x,x,l,A,B,y,x,F,cr,例题 11-1,15,解：在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的,代入挠曲线近似微分方程，得,则(2)式之通解为,(1),w=A,sin,kx+B,cos,kx+F,S,(,l,-,x,)/,F,cr,(3),(2),例题 11-1,A,B,F,S,F,S,F,cr,F,cr,M,e,l-x,x,16,代入挠曲线近似微分方程，得则(2)式之通解为(1)w,由边界条件,x=,0,w=,0,再由,x,=0,w,=0,w,=A k,cos,kx-B k,sin,kx-F,S,/,F,cr,(4),得,(5),得,(6),例题 11-1,17,由边界条件x=0,w=0再由 x=0,w =,将(5)、(6)式代入(3)式有,由铰支端处的边界条件,x,=,l,w,=0，得,杆在微弯状态下平衡时,F,S,不可能等于零，于是必须有,(7),(8),(9),例题 11-1,18,将(5)、(6)式代入(3)式有由铰支端处的边界条件x=l,即,(10),由上式得,kl,=4.49,(11),从而有,(12),相应地由(7)式得挠曲线微分方程,(13),例题 11-1,19,即(10)由上式得kl=4.49(11),几种理想支端约束条件下的细长压杆,当这些压杆都是等截面杆,且均由同一材料制成时,其临界荷载,F,cr,的计算公式可统一写为,l,A,B,F,cr,l,F,cr,v,l,A,B,F,cr,l,A,B,y,x,F,cr,20,几种理想支端约束条件下的细长压杆当这些压杆都是等截面杆,且均,式中,m,称为长度系数,随杆端约束情况而异；,m,l,则称为相当长度，即相当于两端球形铰支压杆的长度。上式称为欧拉公式,如下各图所示。,l,A,B,F,cr,l,A,B,y,x,F,cr,21,式中m 称为长度系数,随杆端约束情况而异；m l 则称为相当,l,A,B,F,cr,l,F,cr,v,从上述分析可知,中心受压直杆的临界力,F,cr,与杆端的约束情况有关，杆端的约束越强，临界力越大。,22,lABFcrlFcrv 从上述分析可知,中心受,如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面中心受压直杆，其长度为,l,，横截面对,z,轴的惯性矩为,I,。推导其临界力,F,cr,的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。,l,A,B,F,cr,思考题 11-1,23,如下图所示两端固定但上端可有水平位移的等截面,A,B,y,x,F,cr,F,cr,M,e,M,e,思考题11-1参考答案：,l,A,B,F,cr,24,AByxFcrFcrMeMe思考题11-1参考答案：lAB,挠曲线近似微分方程,最后得,kl,=,p,挠曲线方程,思考题11-1参考答案：,A,B,y,x,F,cr,F,cr,M,e,M,e,25,挠曲线近似微分方程最后得kl=p挠曲线方程思考题11-1,推导如图变截面压杆临界力,F,cr,的欧拉公式。,思考题 11-2,26,推导如图变截面压杆临界力Fcr的欧拉公式。思考题 11-2,在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠曲线由,AD,、,DE,、,EB,三段组成。由挠曲线光滑连续条件可知：在相邻两段挠曲线的交界点，挠度相等，转角亦相等。此外中点,C,处的切线应与,x,轴平行。,分段列挠曲线近似微分方程，最后求解得到,思考题11-2参考答案：,27,在临界力作用下，此杆可在微弯状态下维持平衡，其挠,求压杆临界荷载的欧拉公式,F,cr,=,p,2,EI,/(,m,l,),2,只适用于压杆失稳时仍在线弹性范围内工作的情况。,应注意：,按失稳的概念，在临界荷载作用下尽管压杆的直线状态的平衡是不稳定的，但如果不受干扰，杆仍可在直线状态下保持平衡。,11-3 欧拉公式的适用范围临界应力总图,28,求压杆临界荷载的欧拉公式Fcr=p2EI,可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力,s,cr,=,F,cr,/,A,不超过材料的比例极限,s,p,作为欧拉公式适用范围的判别条件，即,式中的,s,cr,=,F,cr,/,A,称为临界应力。引入,F,cr,的表达式，有,式中,I,/,A,是一个只有截面形状及尺寸有关的量，通常把它的方根用,i,表示，即,(1),(2),29,可以把临界状态下按直杆算得的横截面上的正应力,称,i,为截面惯性半径。则(2)式可表示为,式中,l,=,m,l/i,，为压杆的柔度，亦称长细比。,将式(3)代入(1)式，则有,或改写为,(3),30,称 i 为截面惯性半径。则(2)式可表示为式中l=ml/i,上式表明，如果压杆的柔度,l,大于或等于只与材料性质有关的一个量,那么欧拉公式适用。,对于Q235钢，如取,E,=2.0610,5,MPa，比例极限,s,p,=200 MPa,则,l,p,=100。,31,上式表明，如果压杆的柔度l大于或等于只与材料性质有关的一个量,右图示出了细长压杆临界应力,s,cr,随柔度,l,的变化情况，以及欧拉公式的适用范围。,s,p,l,p,欧拉公式可用,双曲线,s,cr,l,应该注意的是：“,l,l,p,时欧拉公式可用”系按理想中心压杆得到的。事实上，对于,l,比,l,p,大得不太多的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合下因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。,32,右图示出了细长压杆临界应力scr随柔度l的变化,我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压杆，根据试验资料规定，对于,l,l,c,，而不是,l,l,p,的压杆才能用欧拉公式求临界应力，而,该规范还规定，对于,l,l,c,的钢压杆，临界应力的计算式采用抛物线型的半经验公式,33,我国钢结构设计规范中对于由Q235钢制成的压杆，,对于Q235钢制成的压杆，,a,=0.43。,临界应力总图（,s,l,）,l,0.57,s,s,l,c,l,p,双曲线,抛物线,s,cr,s,s,34,对于Q235钢制成的压杆，a=0.43。临界应力总图（s,几个概念：,(1)细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界应力的压杆。,(2)短压杆是指柔度特别小的（其临界应力接近于材料的强度）杆。,(3)中长压杆是指柔度特别大的杆。,35,几个概念：(1)细长压杆（大柔度压杆）能应用欧拉公式求临界,11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算,要保证压杆在荷载作用下不致失稳且有一定的安全储备，其条件是,式中的,n,w,为稳定的安全因数。,相应地有,或,式中,s,w,稳定容许应力，它是随压杆柔度,l,变化的一个量。,36,11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算 要保,在有些工程计算中，更把稳定容许应力,s,w,通过一个随压杆柔度,l,变化的稳定系数,j,(,l,)与杆材料的强度容许应力,s,加以联系，即,37,在有些工程计算中，更把稳定容许应力sw通,有一一端固定，另一端球形铰支的空心圆截面钢压杆。已知：,l,=5 m,D,=100 mm,d,=50 mm,E,=2.010,5,MPa,s,p,=200 MPa,s,s,=240 MPa,n,w,=2.5。求容许轴向压力,F,。,l,A,B,y,x,F,例题 11-2,38,有,惯性半径,查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为,m,=0.7,(1)计