输入多边形顶点按逆时针顺序排列课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/11/14,1,多边形面积和重心,2023/8/81多边形面积和重心,2024/11/14,2,基本问题（,1）：,给定一个简单多边形，求其面积。,输入,：多边形（顶点按逆时针顺序排列）,输出,：面积,S,2023/8/82基本问题（1）：给定一个简单多边形，求其面,2024/11/14,3,思考如下图形：,2023/8/83思考如下图形：,2024/11/14,4,先看最简单的多边形,三角形,2023/8/84先看最简单的多边形三角形,2024/11/14,5,计算几何的方法：,在计算几何里，我们知道，,ABC的面积就是,“,向量,AB,”,和,“,向量,AC,”,两个向量叉积的绝对值的一半。其正负表示三角形顶点是在右手系还是左手系。,ABC成左手系，负面积,ABC成右手系，正面积,B,C,A,C,B,A,2023/8/85计算几何的方法：在计算几何里，我们知道，,2024/11/14,6,大功告成：,Area(A,B,C)=1/2*(AB)(AC),=,/2,特别注意：,以上得到是,有向面积（有正负）,！,Xb X a Yb Y a,Xc X a Yc Y a,2023/8/86大功告成：Area(A,B,C)=1/,2024/11/14,7,凸多边形的三角形剖分,很自然地，我们会想到以,P1为扇面中心，连接P1Pi就得到N-2个三角形，由于凸性，保证这些三角形全在多边形内，那么，这个凸多边形的有向面积：,A=sigma(Ai)(i=1,N-2),P1,P2,P3,P4,P5,P6,A1,A2,A3,A4,2023/8/87凸多边形的三角形剖分很自然地，我们会想到以,2024/11/14,8,凹多边形的面积？,P1,P4,P3,P2,2023/8/88凹多边形的面积？P1P4P3P2,2024/11/14,9,多边形面积公式：,A=sigma(Ai)(i=1,N-2),结论：,“有向面积”A比“面积”S其实更,本质,！,2023/8/89多边形面积公式：A=sigma(Ai),2024/11/14,10,任意点为扇心的三角形剖分,：,我们能把多边形分成,N-2个三角形，为什么不能分成N个三角形呢？,比如，以多边形内部的一个点为扇心，就可以把多边形剖分成 N个三角形。,P0,P1,P2,P6,P5,P4,P3,2023/8/810任意点为扇心的三角形剖分：我们能把多边形,2024/11/14,11,前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点都是合适的！,我们可以得到：,A=sigma(Ai)（i=1,N,）,即,：,A,=,sigma,/2,（i=1,N,）,Xi X0 Yi Y0,X(i+1)X0 Y(i+1)Y0,2023/8/811前面的三角剖分显然对于多边形内部任意一点,2024/11/14,12,能否把扇心移到多边形以外呢？,P0,P1,P2,P3,P4,2023/8/812能否把扇心移到多边形以外呢？P0P1P2,2024/11/14,13,既然内外都可以，为什么不设,P0为坐标原点呢？,O,P1,P2,P3,P4,现在的公式？,2023/8/813既然内外都可以，为什么不设P0为坐标原点,2024/11/14,14,简化的公式：,A,=,sigma,/2,（,i=1,N,）,Xi Yi,X(i+1)Y(i+1),面积问题搞定！,2023/8/814简化的公式：A=sigma /,2024/11/14,15,基本问题（,2）：,给定一个简单多边形，求其重心。,输入,：多边形（顶点按逆时针顺序排列）,输出,：重心点,C,2023/8/815基本问题（2）：给定一个简单多边形，求其,2024/11/14,16,从三角形的重心谈起：,三角形的重心是：,(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3,可以推广否？,Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N (i=1N)?,2023/8/816从三角形的重心谈起：三角形的重心是：可以,2024/11/14,17,看看一个特例：,.,2023/8/817看看一个特例：.,2024/11/14,18,原因：,错误的推广公式是,“,质点系重心公式,”,，即如果认为多边形的质量仅分布在其顶点上，且均匀分布，则这个公式是对的。,但是，现在多边形的质量是均匀分布在其内部区域上的，也就是说，是与面积有关的！,2023/8/818原因：错误的推广公式是“质点系重心公式”,2024/11/14,19,Solution:,剖分成,N个三角形，分别求出其重心和面积，这时可以想象，原来质量均匀分布在内部区域上，而现在质量仅仅分布在这N个重心点上（等假变换），这时候就可以利用刚才的质点系重心公式了。,不过，要稍微改一改，改成,加权平均,数，因为质量不是均匀分布的，每个质点代表其所在三角形，其质量就是该三角形的面积（,有向面积,！,），,这就是权！,2023/8/819Solution:剖分成N个三角形，分别,2024/11/14,20,公式：,C=sigma(Ai*Ci)/A (i=1,N),Ci=Centroid(O P,i,P,i+1,),=,(,O+P,i,+P,i+1,)/3,C=sigma(P,i,+P,i+1,)(P,i,P,i+1,)/(6A),2023/8/820公式：C=sigma(Ai*Ci),