你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,设通过两点,(,a,A),(b,B),的曲线用,y=y(x),表示，将此曲线绕,x,轴旋转得一旋转曲面.问如何选取曲线,y=y(x),方能使旋转面的面积为最小？,解：,解决这个问题需要用到变分法.一般说，变分法就是求下述形式的定积分（设,y=y(x),）,的极值问题，式,(1)这种函数叫做泛函.象函数的微分理论中的极值问题一样，泛函理论中也有极值问题.变分法研究的对象就是求泛函的极值.,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,在一定的条件下，可以证明：使,(1)式取得极值时的函数,y=y(x),必须满足（证明从略）：,方程,(2),称为变分法中的,Euler,方程.,当,(1),式中的,F,不显含,x,时，即,F=F(y,y),这时(2)式两端同乘以,-,y,，,则得,即,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,由于,F=F(y,y),，,根据二元复合函数求导法则，有,所以,将,上式代入,(2),，得,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,由于,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,所以,(,2,),式左端等于,于是,(,2,),式就化为,即,将,上式两边对,x,积分，得,(,3),式就是当,(1),式中的,F,不显含,x，,即,F=F(y,y),时，使,I,取得极值，,y=y(x),应该满足,Euler,方程.现在来解决开始提出的问题.,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,由,熟知的旋转面的面积公式,来求使,I,最小的曲线,y=y(x),.,这时,(1)式中的函数,F,为,由于函数,F,不显含,x,，,所以,y=y(x),应,满足,Euler,方程,(3),注意到,所以,(3),式化为,所以,你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？,即,上,方程为变量可分离方程：,两端积分，得,这是悬链线方程，其积分常数由边界条件决定.,