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讲课人：邢启强,*,6.4.3,正弦定理,6.4.3正弦定理,余弦定理：,三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍,.,学习新知,余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和，减去,余弦定理的推论：,学习新知,余弦定理的推论：学习新知,回忆一下直角三角形的边角关系?（,C,为直角）,探究,3,：这个关系式对任意三角形均成立吗？,C,B,A,a,b,c,学习新知,回忆一下直角三角形的边角关系?（C为直角）探究3：这个关系式,A,B,C,c,b,a,D,同理：,证法一：不妨设,C,为最大角，,若,C,为直角，已证得结论成立；,若,C,为锐角，过,A,点作,AD,垂直于,BC,于,D,2,能否推广到斜三角形？,学习新知,ABCcbaD同理：证法一：不妨设C为最大角，若,若,C,为钝角，过,A,点作,AD,垂直于,BC,交,BC,的延长线于,D,，此时也有：,同样可得：,A,C,B,b,c,a,D,作高法,学习新知,若C为钝角，过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于D，此时也,在,RtABC,中，,C,90,，,BC,a,，,AC,b,，,AB,c,，则,sinA,，,sinB,，,sinC,分别等于什么？,C,A,B,a,b,c,学习新知,在RtABC中，C90，BCa，ACb，ABc,在斜三角形中是否成立？,C,A,B,a,b,c,D,学习新知,D,C,A,B,a,b,c,E,在斜三角形中是否成立？CABabcD学习新知DCABabc,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等,.,在任意三角形中均有：,正弦定理,学习新知,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.在任意,每个等式中有几个量？,（,1,）已知两角及任一边，求其他两边和一角,（,2,）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）,探究,1,：,正弦定理结构的最大特点是什么？,探究,2,：,正弦定理里面包含了几个等式？,探究,3,：,它可以解决三角形中那些类型的问题？,正弦定理：,结构和谐、对称,体现了数学的,和谐美与对称美,学习新知,每个等式中有几个量？（1）已知两角及任一边，求其他两边和一角,例,1,、在,ABC,中，已知,A=45,，,B=60,，,a=42cm,，解三角形,.,题型一,已知两角一边，求其它元素,.,步骤：,1,、求第三角,2,、求另两边,典型例题,例1、在ABC中，已知A=45，题型一已知两角一边,在,ABC,中，已知,A=45,C=30,求,b,0,0,0,0,0,105,),30,45,(,180,),(,180,=,+,-,=,+,-,=,C,A,B,解,:,由正弦定理 得,:,巩固练习,在ABC中，已知A=45 C=3,例,2,、在,ABC,中，已知,a=2cm,，,c=cm,，,A=45,，解三角形,.,题型二,已知两边及其中一边的对角,求其它元素,.,步骤：,1,、求另一边对角,2,、求第三角,3,、求第三边,典型例题,例2、在ABC中，已知a=2cm，题型二已知两边及其,在,ABC,中,已知,a=16,b=,，,A=30,，求角,B,C,和边,c.,解：由正弦定理,得,所以,60,或,120,当 时,60,C=90,C=30,当,120,时,B,16,30,0,A,B,C,16,3,16,巩固练习,在ABC中,已知a=16,b=,例,3,、在,ABC,中,已知,b=cm,，,c=1cm,，,B=60,，解三角形,.,典型例题,题型二,已知两边及其中一边的对角,求其它元素,.,例3、在ABC中,已知b=cm，典型例题题,已知两边和其中一边对角,(,已知,a,b,和角,A),解斜三角形有两解或一解（见图示）或无解,C,C,C,C,A,B,A,A,A,B,B,b,a,b,b,b,a,a,a,a,a=bsinA,一解,bsinAab,一解,a=b,一解,absinA,无解,b,a,C,A,B,知识小结,已知两边和其中一边对角(已知a,b和角A)CCCCABAAA,A,的范围,a,b,关系,解的情况,（按角,A,分类）,解斜三角形,讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：,A,为钝角或直角,A,为锐角,a,b,a,b,a,b,a,b,sin,A,a,=,b,sin,A,a,b,sin,A,一解,无解,一解,无解,一解,两解,知识小结,A的范围a,b关系解的情况（按角A分类）解斜三角形讨论已知两,1,、,判断题,:,根据已知条件判断,ABC,解的情况,.,(1),b,=1,，,a,=2,，,B,=30,o,有一解,；,.,(2),b,=1,，,a,=3,，,B=30,o,无解,；,.,(3),b,=1,，,a,=,，,B,=30,o,有一解,；,.,(4),b,=1,，,a,=,，,B,=150,o,有一解,；,.,(5),b,=,，,a,=1,，,B,=120,o,有两解,.,.,3,3,3,巩固练习,1、判断题:根据已知条件判断ABC解的情况.(1)b=1,巩固练习,巩固练习,例题讲解,例,4,在,ABC,中，求,ABC,的面积,S,h,A,B,C,三角形面积公式,解：,由正弦定理得,例题讲解例4 在ABC中，,例,5.,在任一,ABC,中，求证：,证明：由于正弦定理：令,代入左边得：,等式成立,左边,=,右边,例题讲解,例5.在任一ABC中，求证：证明：由于正弦定理：令 代入,练习,C,2,在,ABC,中,若,a,18,b,24,A,45,则此三角形有,(),A.,无解,B.,两解,C.,一解,D.,解的个数不确定,B,B,练习C2在ABC中,若a18,b24,A45,则,例题讲解,例题讲解,例题讲解,分析,:,由,2B=A+C,可得,B=60.,例题讲解分析:由2B=A+C 可得B=60.,练习,练习,2.,正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即,，,每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系,.,1.,三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形,.,课堂小结,2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即1.三角形的,3.,利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形,.,对于第二类问题，要注意确定解的个数,.,课堂小结,3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和,回顾小结,(2),作高法证明正弦定理,.,一个定理,两类应用,（,1,）已知两角及任一边，求其他两边和一角,（,2,）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角,三种方法,(1),从特殊到一般的方法,这种方法是人们认识客观世界的一种重要的,方法，也是数学发现的重要方法之一，我们,要逐步学会并善于运用这种方法去探索数学,问题，提高我们的创造能力,.,(3),外接圆证明正弦定理,正弦定理,（从而进一步求出其他的边和角）,回顾小结(2)作高法证明正弦定理.一个定理两类,
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