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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 曲面方程与曲线方程,一、曲面方程,二、曲线方程,三、母线平行于坐标轴柱面方程,四、一坐标轴为旋转轴旋转曲面,第1页,第1页,一、曲面方程,定义7.3,若曲面上每一点坐标都满足某方程，而不在此曲面上点都不满足这个方程，则称这个方程是所给曲面方程.,三元方程,F,(,x,y,z,)=0,总表示一个空间曲面.,曲面两类问题,(1)已知一曲面作为点几何轨迹,建立这曲面方程;,(2)已知一曲面方程,研究这曲面几何形状.,第2页,第2页,例1,求与定点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,)距离等于,R,几何轨迹方程.,解,设,M,(,x,y,z,)为轨迹上任意一点.由题可知,|,M,0,M,|=,R,即,两端平方得,表示以点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,)为中心,以,R,为半径球面.,第3页,第3页,例2,研究方程,所表示曲面方程几何特性.,解,原方程配方得,若,记,则所给方程表示以点 半径为R球面,第4页,第4页,若,则所给方程化为,这时,即表示一个点 可称其为点球.,若,则所给方程无图形,可称其为虚球.,第5页,第5页,二、曲线方程,空间两曲面相交,能够得到一条曲线.设,F,1,(,x,y,z,)=0 和,F,2,(,x,y,z,)=0,为空间两曲面方程,若它们相交得到一条曲线,L,则,L,上任一点坐标必定满足这两个曲面方程.反过来,同时满足两个曲面方程点也必定在它们交线,L,上.因此空间曲线,L,方程能够表示为,常称之为曲线普通式方程.,第6页,第6页,三、母线平行与坐标轴柱面方程,研究方程,F,(,x,y,)=0所表示曲面几何特性.,在,Oxy,坐标平面上,F,(,x,y,)=0表示一条曲线L;在空间直角坐标系中,F,(,x,y,)=0表示一个曲面.,在(,Oxy,平面上)曲线L上任取一点,M,0,(,x,y,0),过该点作平行于,z,轴直线.该直线上任取一点,M,(,x,y,z,),则点,M,坐标必定满足方程,F,(,x,y,)=0.由于,M,0,任意性能够理解:将上述平行于z轴直线沿L移动,并始终保持该直线与z轴平行,所得曲面上点,必定满足,F,(,x,y,)=0.满足这种特性曲面,称为柱面,相应平面曲线L称为直线,平行于z轴而沿L移动直线称为母线.,第7页,第7页,尤其地,假如准线L为,Oxy,平面上二次曲线,则称,F,(,x,y,)=0为二次柱面,为,圆柱面,.,第8页,第8页,为,椭圆柱面,.,第9页,第9页,为,双曲柱面,.,第10页,第10页,为,抛物柱面,.,第11页,第11页,四、以坐标轴为旋转轴旋转曲面,若给定,Oyz,平面上一条曲线,L,:,将,L,绕,z,轴旋转一周所形成曲面称为旋转曲面,称,z,轴为,旋转轴,.,第12页,第12页,当曲线,L,绕,z,轴旋转时,点,M,0,也绕,z,轴旋转到点,M,这时,z,=,z,0,保持不变,且点M到,z,轴距离恒等于|,y,0,|.于是点,M,坐标满足,由于,M,0,(0,y,0,z,0,)在,L,上,因此,可得点M坐标应满足方程为,为曲线 绕,z,轴旋转一周所得旋转曲面方程.,第13页,第13页,同理,曲线 绕,y,轴旋转一周所得旋转曲面方程为,第14页,第14页,例3,求,Oyz,平面上椭圆 绕,z,轴旋转一周所形成旋转曲面方程.,解,由旋转曲面公式得,即,为所求旋转曲面.,第15页,第15页,
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