高等数学——81多元函数的基本概念课件

单击此处编辑母版标题样式,*,81 多元函数的基本概念,一、区域,二多元函数概念,三多元函数的极限,四多元函数的连续性,邻域、,内点、开集、边界点、边界,连通性、区域、闭区域,n维空间、点的坐标、两点间的距离,二元函数的定义、,值域、二元函数的图形,二元函数连续性定义、,函数的间断点,多元连续函数的性质、,多元初等函数,81 多元函数的基本概念一、区域二多元函数概念三多元,1,一、区域,设,P,0,(,x,0,，,y,0,)是,xOy,平面上的一个点，,d,是某一正数与点,P,0,(,x,0,，,y,0,)距离小于,d,的点,P,(,x,，,y,)的全体，称为点,P,0,(,x,0,，,y,0,)的邻,域，记为,U,(,P,0,，,d,)或,U,(,P,0,)，即,邻域:,U,(,P,0,，,d,),P,|,P,P,0,|,d,P,0,d,U,(,P,0,，,d,),去心邻域：,P,0,一、区域 设P0(x0，y0)是xOy平面上的,2,设,E,是平面上的一个点集，,P,是平面,上的一个点 如果存在点,P,的某一邻域,U,(,P,)，使,U,(,P,),E,，则称,P,为,E,的内点，,内点：,E,如果点集,E,的点都是内点，,则称,E,为开集,开集：,P,边界点、边界：,如果点,P,的任一邻域内既有,属于,E,的点，也有不属于,E,的点，,则称,P,点为,E,的边点,开集：,E,(,x,，,y,)|1,x,2,+,y,2,0(无界开区域)；,O,x,y,x,+,y,=,0,二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果,7,二多元函数概念,设,D,是平面上的一个点集如果对于每个点,P,(,x,，,y,),D,，变,量,z,按照一定法则总有确定的值和它对应，则称,z,是变量,x,，,y,的二元函数(或点,P,的函数)，记为,z,=,f,(,x,，,y,)(或,z,=,f,(,P,),二元函数的定义：,其中,D,称为定义域，,x,，,y,称为自变量，,z,称为因变量,例,函数,z,=ln(,x,+,y,)的定义域为,(,x,，,y,)|,x,+,y,0(无界开区域)；,函数,z,arcsin(,x,2,y,2,)的定义域为,(,x,，,y,)|,x,2,y,2,1(有界闭区域),O,x,y,x,2,y,2,=,1,二多元函数概念 设D是平面上的一个点集如果,8,值域：,z,|,z,=,f,(,x,，,y,)，(,x,，,y,),D,二元函数的图形：,点集(,x,，,y,，,z,)|,z,=,f,(,x,，,y,)，(,x,，,y,),D,称为二元函数,z,f,(,x,，,y,),的图形,二元函数的图形是一张曲面,例,z,=,a x,+,b,y,+c是一张平面，,x,y,z,O,x,0,y,0,M,0,值域：二元函数的图形：二元函数的图形是一,9,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,确定的函数,z,=,f,(,x,，,y,)有两个：,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,确定的函数,z,=,f,(,x,，,y,)是中心在原点，半径,为,a,的球面它的定义域为,D,=(,x,，,y,)|,x,2,y,2,a,2,O,x,y,由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f(x，y),10,三多元函数的极限,二重极限的定义：,设函数,f,(,x,，,y,)在开区域(或闭区域),D,内有定义，,P,0,(,x,0,，,y,0,)是,D,的内点或边界点如果对于任意给定的正数,e,总存在正数,d,，,使得对于适合不等式,的一切点,P,(,x,，,y,),D,，都有,|,f,(,x,，,y,),A,|,e,成立，则称常数,A,为函数,f,(,x,，,y,)当,x,x,0,，,y,y,0,时的极限，记为,或,f,(,x,，,y,),A,(,r,0)，,这里,r,|,P,P,0,|,三多元函数的极限二重极限的定义：设函数f,11,x,y,z,O,x,0,y,0,M,0,P,0,A,P,P,P,P,xyzOx0 y0M0P0APPPP,12,x,2,y,2,，,则当,时，总有,x2y2，则当时，总有,13,必须注意：,(1)二重极限存在，是指,P,以任何方式趋于,P,0,时，函数都无,限接近于,A,(2)如果当,P,以两种不同方式趋于,P,0,时，函数趋于不同的值，,则函数的极限不存在,例,当点,P,(,x,，,y,)沿,x,轴、,y,轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，,当点,P,(,x,，,y,)沿直线,y,=,k,x,趋于点(0，0)时,必须注意：例当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0,14,x,y,z,O,P,0,xyzOP0,15,解,解,16,四多元函数的连续性,则称函数,f,(,x,，,y,)在点,P,0,(,x,0,，,y,0,)连续,二元函数连续性定义：,设函数,f,(,x,，,y,)在开区域(或闭区域),D,内有定义，,P,0,(,x,0,，,y,0,),D,如果,函数,f,(,x,，,y,)在区域(开区域或闭区域),D,内连续：是指函数,f,(,x,，,y,)在,D,内每一点连续此时称,f,(,x,，,y,)是,D,内的连续函数,二元函数的连续性概念可相应地推广到,n,元函数,f,(,P,)上去,四多元函数的连续性则称函数f(x，y)在点P0(x0，y,17,若函数,f,(,x,，,y,)在点,P,0,(,x,0,，,y,0,)不连续，则,P,0,称为函数,f,(,x,，,y,)的,间断点,注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点,函数的间断点：,f,(,x,，,y,),例,点(0，0)是,f,(,x,，,y,)的间断点；,x,2,y,2,1上的点是其间断点,若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连,18,x,y,z,O,P,0,xyzOP0,19,多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续,函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数,性质1(最大值和最小值定理)：,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，在,D,上一定有最大值和,最小值,性质2(介值定理)：,在有界闭区域,D,上的多元连续函数，如果在,D,上取得两个不,同的函数值，则它在,D,上取得介于这两个值之间的任何值至少,一次,多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均,20,结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,多元初等函数：,是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元,多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构,成的,例如sin(,x,+,y,)是由sin,u,与,u,=,x,+,y,复合而成的，它是多元初等,函数,结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的多元初,21,如果,f,(,P,)是初等函数，且,P,0,是,f,(,P,)的定义域的内点，则,用函数的连续性求极限,：,D,(,x,，,y,)|,x,0，,y,0，点(1，2)是,D,的内点，函数,f,(,x,，,y,)在,(1，2)是连续的，所以,它的定义域为,如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定,22,解,解,23,