实变函数有界变差函数

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,目的,：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。,重点与难点,：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。,4.4 有界变差函数,第四节 微分与不定积分,第四节 有界变差函数,根本内容：,一单调函数可导性的推论,问题1：如果 fn 是单调函数序列，且,，不难看出f也是单调,的，从而也几乎处处有有限导数，,fn 的导数与 f 的导数有什么关系？,等式,是否成立？,第四节 有界变差函数,(1)Fubini,定理,问题,2,：跳跃函数的导数是什么？,推论1(Fubini)设 是 上的单调增加有限函数序列，且 在,上处处收敛到有限函数 f，那么,。,证明：不妨设 ，否那么可令 ，对 讨论就行了。记,，,那么 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后，都存在。,第四节 有界变差函数,因 及,单调增加，故其导数均非负，从而当,时，。,由此得，级数,几乎处处收敛。往证,。,第四节 有界变差函数,由于 ，对任意自然数,k,，可取 ，使得,，,但 也是单调增加函数，且,，所以,第四节 有界变差函数,这说明 也是由单调增加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得,第四节 有界变差函数,进而，级数的通项趋于,0,，即,，,也即,。,证毕。,第四节 有界变差函数,证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意 ，,，,由推论,1,立得证明。,推论2 假设 是 上跳跃函数，那么,。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,二单调函数导数的可积性,问题,3,：从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足,Newton,-,Leibniz,公式，考虑更弱的问题：单调函数的导数是否,R,-可积？是否,L,-可积？其导函数的积分与该函数有没有什么关系？,定理,5,设,f,是 上的单调增加有限函数，那么 是 上的,Lebesgue,可积函数，且,。,第四节 有界变差函数,证明：将,f,扩充到 上，对任意,，令 ，并令,，,它是,Riemann,可积函数，而且 。,第四节 有界变差函数,注意到,第四节 有界变差函数,由,Fatou,引理得,证毕。,第四节 有界变差函数,应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差异，此处严格不等式样可能成立的，例如，假设 ，那么,。于是 ，但,，故 ，所以 。,第四节 有界变差函数,另外，还应注意到，由定理,4，,上的单调函数,f,几乎处处有有限导数，因此定理,5,中导数 不存在的点,x,处可规定 为任意值。这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对 的积分产生影响。,第四节 有界变差函数,从 我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的,定义6 设 f 是 上的有限函数，假设在 上 ，且 f 不恒为常数，那么称 f 为 上的奇异函数。,第四节 有界变差函数,三有界变差函数的定义,问题,4,：,a,b,上单调函数除了跳跃度总和不超过 ，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和是否必有限？,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分复原。那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢(当然，这里是相对于Lebesgue积分而言)？这正是下面要讨论的问题。,定义,7,设 是 上的有限函数，对 的任一分划,，,记,称 为,f,关于分划 的,变差,。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,假设存在常数 M，使对一切分划 ，都有,，那么称 为 上的有界变差函数。令,，,其中 取遍 的所有分划，称 为 f 在 上的总变差。,由定义,7,不难看出，上有限单调函,数,f,都是有界变差函数，且,。,第四节 有界变差函数,四.有界变差函数的性质,性质1 假设 f 是 上的有界变差函数，那么 f 必为有界函数。,第四节 有界变差函数,证明：假设不然，那么存在 。使 ，由 f 是有界变差函数知 。对任意 n，作 的分划 ，那么,第四节 有界变差函数,由 ，得,。,这与 矛盾，故必为有界函数，证毕。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,性质2 假设 都是 上的有界变差函数，那么对任意常数 也是 上的有界变差函数，且,。,证明：设 为,的任一分划，那么,第四节 有界变差函数,所以 ，证毕。,证明：由性质,1,知存在,M,，使得,，,设 为 的任一分划：,性质3 设 是 上的有界变差函数，那么 也是有界变差函数。,第四节 有界变差函数,故 ，证毕。,第四节 有界变差函数,那么,证明：假设 f 不为常数，那么存在 使得 或 ，作,的分划 ，那么 ，这与,矛盾，故 f 必为常数，证毕。,性质4 假设 f 是 上的有界变差函数，且 ，那么 f 是常数。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,性质5 设 f 是 上的有界变差函数，那么,，,特别地，也 f 是 上的有界变差函数。,第四节 有界变差函数,证明：任取 的一个分划,，,对应到 的一个分划,，于是 ，进而,，证毕。,第四节 有界变差函数,性质6 设 f 是 上的有界变差函数，c 是 内任一数，那么,。,证明：由全变差定义，对任意 ，可以找到分划,及分划 ，使得,，。,将 合并起来得 的一个分划,，于是由 及,得 ，由 的任意性立得,。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,反之，对任意 ，设,是 的一个分划，满足,，,那么对任意 ，存在 ，使得 ，于是,进而 ，任由,的任意性得 ，所以,，证毕。,第四节 有界变差函数,第四节 有界变差函数,性质7 假设 是 上的有界变差函数列，是有界数列，且 处处收敛到 ，那么 g 也是 上的有界变差函数，且,。,所以 ，证毕。,第四节 有界变差函数,证明：记 ，任取 的一个分划 ，那么,