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,第二章一元二次函数、方程和不等式,2.1,等式性质与不等式性质,第,1,课时不等关系与比较大小,第二章一元二次函数、方程和不等式,必备知识,自主学习,必备知识自主学习,1.,不等式与不等关系,(1),不等式的概念,我们用数学符号“”“,”“”“”“”,连接两个数或代数式，以表示,它们之间的,_.,含有这些不等号的式子叫做不等式,.,不等关系,1.不等式与不等关系不等关系,(2),不等式中文字语言与符号语言之间的转换,(2)不等式中文字语言与符号语言之间的转换,(3),本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映，这种不等关系可以用不等式来表示,.,应用：描述现实世界和日常生活中的不等关系,.,(3)本质：现实世界和日常生活中的不等关系在数量关系上的反映,【,思考,】,33,成立吗？,提示：,成立,.,不等式“,ab”,的含义是：或者“,ab”,或者“,a=b”,，即当“,a0,a-b0a-b0a-b=,【,思考,】,你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的方法？,提示：,能,.,通过两个实数作差，判断差的正负比较大小,.,【思考】你能否由比较两个实数大小的依据得出两个实数比较大小的,【,基础小测,】,1.,辨析记忆,(,对的打“”，错的打“,”),(1),不等式,ab,等价于“,a,不小于,b”.(,),(2),若,x-20,，则,xb,，,a=b,，,ab,或,a=b,，等价于“,a,不小于,b”,，即若,ab,或,a=b,中有一个正确，则,ab,正确,.,(2).,若,x-20,，则,xb,，,a=b,，,a0,，所以,x,2,+4-4x0,，所以,x,2,+44x.,答案：,x,2,+44x,3.(教材二次开发：练习改编)已知x2，则x2+4与4x的,关键能力,合作学习,类型一利用不等式,(,组,),表示不等关系,(,数学抽象、逻辑推理,),角度,1,利用不等式表示不等关系,【,典例,】,1.2019,年,10,月,5,日,14,时,18,分，京张高铁联调联试正式启动,.,此条线路是,2022,年北京冬奥会的重要交通保障设施，设计最高时速,350,公里,.,用一个数学式子表示高铁时速,v,为,_.,2.,中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度,v,不小于第一宇宙速度,7.9 km/s,，且小于第二宇宙速度,11.2 km/s.,表示为,_.,关键能力合作学习类型一利用不等式(组)表示不等关系(数学,【,思路导引,】,读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来,.,【,解析,】,1.“,最高”即“不超过”，即小于或等于，故用数学式子表示为：,v350.,答案：,v350,2.“,不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：,7.9v11.2.,答案：,7.9v11.2,【思路导引】读懂题意，找出不等关系，用不等式表示出来.,【,变式探究,】,本例,1,条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速的指示标志，限制行驶时速,v,不得低于,50,千米”，试用不等式表示,.,【,解析,】,“,不低于”即大于或等于，,故用不等式表示为：,v50.,【变式探究】本例1条件若改为：“如图是高速公路上一个最低限速,角度,2,利用不等式组表示不等关系,【,典例,】,用一段长为,30 m,的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长,18 m,，要求菜园的面积不小于,110 m,2,，靠墙的一边长为,x m.,试用不等式组表示其中的不等关系,.,角度2利用不等式组表示不等关系,【,思路导引,】,读懂题意，找出不等关系，用不等式组表示出来,.,【,解析,】,由于矩形菜园靠墙的一边长为,x m,，而墙长为,18 m,，所以,010).,【解析】由题知提价后商品的售价为x元，,类型二作差法比较大小,(,逻辑推理、数学运算,),【,典例,】,已知,a1,且,aR,，试比较 与,1+a,的大小,.,类型二作差法比较大小(逻辑推理、数学运算),高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2,【,解题策略,】,作差法比较大小的步骤,【解题策略】作差法比较大小的步骤,【,跟踪训练,】,1.,已知,x,，,yR,，,P=2x,2,-xy+1,，,Q=2x-,，试比较,P,，,Q,的大小,.,【,解析,】,因为,P-Q=2x,2,-xy+1-=x,2,-xy+x,2,-2x+1=+(x-1),2,0,，,所以,PQ.,【跟踪训练】1.已知x，yR，P=2x2-xy+1，Q=2,2.,已知,a,，,b,均为正实数,.,试比较,a,3,+b,3,与,a,2,b+ab,2,的大小,.,【,解析,】,因为,a,3,+b,3,-(a,2,b+ab,2,)=(a,3,-a,2,b)+(b,3,-ab,2,),=a,2,(a-b)+b,2,(b-a),=(a-b)(a,2,-b,2,)=(a-b),2,(a+b).,当,a=b,时，,a-b=0,，,a,3,+b,3,=a,2,b+ab,2,；,当,ab,时，,(a-b),2,0,，,a+b0,，,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,综上所述，,a,3,+b,3,a,2,b+ab,2,.,2.已知a，b均为正实数.试比较a3+b3与a2b+ab2的,【,拓展延伸,】,中间值法比较大小,如果所给式子作差后无法因式分解，不能判断差的符号，可尝试中间值法比较大小,.,利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值，通过它们的有界性来寻找中间值作媒介，以达到传递的目的,.,【拓展延伸】,【,拓展训练,】,已知,xR,，试比较,2x,2,-3x+3,与 的大小,.,【,解析,】,因为,2x,2,-3x+3=1,，,2,x,+2,-x,=(),2,+22,，,所以 ,1,，,所以,2x,2,-3x+3 .,【拓展训练】,类型三比较大小在实际问题中的应用,(,数学抽象、数学建模,),【,典例,】,2019,年,12,月,26,日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往,.,甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受,7.5,折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的,8,折优惠,.”,这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠,.,【,思路导引,】,先设出变量表示出两车队的车票花费，再通过作差法比较,.,类型三比较大小在实际问题中的应用(数学抽象、数学建模),【,解析,】,设该单位职工有,n,人,(nN,*,),，全票价为,x,元，坐甲车队的车需花,y,1,元，坐乙车队的车需花,y,2,元,.,由题意，得,y,1,=x+x(n-1)=x+nx,，,y,2,=nx.,因为,y,1,-y,2,=x+nx-nx=x-nx,=x,，,当,n=5,时，,y,1,=y,2,；,当,n5,时，,y,1,y,2,；,当,ny,2,.,所以，当单位去的人数为,5,人时，两车队收费相同；多于,5,人时，选甲车队更优惠；少于,5,人时，选乙车队更优惠,.,【解析】设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元，坐甲车,【,解题策略,】,现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题,.,【解题策略】,【,跟踪训练,】,甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进,100,千克大米，而乙每次用去,100,元钱,.,问：谁的购买方式更合算？,【跟踪训练】,【,解析,】,设两次大米的价格分别为,a,元,/,千克，,b,元,/,千克,(a0,，,b0,，,ab),，,则甲两次购买大米的平均价格,(,元,/,千克,),是：,乙两次购买大米的平均价格,(,元,/,千克,),是：,因为,所以,.,所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算,.,【解析】设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a0,课堂检测,素养达标,1.,下列说法正确的是,(,),A.x,为非正数可表示为“,x0”,B.,小华的实际年龄,n,不足,18,岁，表示为“,n18”,C.,两数,x,，,y,的平方和不小于,2,，表示为“,x,2,+y,2,2”,D.,甲数,a,比乙数,b,大，表示为“,ab”,【,解析,】,选,C.x,为非正数应表示为“,x0”,，小华的实际年龄,n,不足,18,岁应表示为“,nb”,，故,A,，,B,，,D,不正确，,C,正确,.,课堂检测素养达标1.下列说法正确的是(),2.,某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩,x,不低于,95,分，文化课总分,y,高于,380,分，体育成绩,z,超过,45,分，用不等式组表示就是,(,),A.B.,C.D.,【,解析,】,选,D.“,不低于”即“”，“高于”即“,”,，“超过”即“,”,，所以,2.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，,3.,设,a=3x,2,-x+1,，,b=2x,2,+x,，则,(,),A.abB.ap,(3)16t18,4.用不等式表示下面的不等关系：,5.(,教材二次开发：练习改编,),比较,(a+3)(a-5),与,(a+2)(a-4),的大小为,_.,【,解析,】,因为,(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4),=(a,2,-2a-15)-(a,2,-2a-8)=-70.,所以,(a+3)(a-5)(a+2)(a-4).,答案：,(a+3)(a-5)(a+2)(a-4),5.(教材二次开发：练习改编)比较(a+3)(a-5)与(a,不等关系与,比较大小,利用不等式表示不等关系,比较大小,作差法：通常利用配方法化成完全平方式与,0,比较,作商法：适用于同号的式子作商与,1,比较,比较大小常用方法,（1）利用不等式时，要注意等号能否取到,（,2,）利用不等式表示不等关系时要注意实际意义,数学建模：用不等式,(,组,),表示实际问题，,培养,数学建模的核心素养,逻辑推理：通过等式性质类比推理得不等式的性质，,培养,逻辑推理的核心素养,方法总结,核心知识,易错提醒,核心素养,不等关系与利用不等式表示不等关系比较大小作差法：通常利用配方,
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