不定积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.1 不定积分31,*,1,3.1 不定积分31,2,3.1 不定积分31,例,3.1.1 原函数,3,3.1 不定积分31,原函数存在定理：,简而言之：连续函数肯定有原函数.,问题：,(1)原函数是否唯一？,例,（为任意常数）,(2)假设不唯一它们之间有什么联系？,4,3.1 不定积分31,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（为任意常数）.,证,（为任意常数）,5,3.1 不定积分31,任意常数,积分号,被积函数,3.1.2 不定积分,被积表达式,积分变量,6,3.1 不定积分31,例 1,求不定积分,解,解,例 2,求,不定积分,7,3.1 不定积分31,例 3 设曲线通过点1,2，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,依据题意知,由曲线通过点1,2,所求曲线方程为,8,3.1 不定积分31,明显，求不定积分得到一积分曲线族.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是“,互逆,”,的.,9,3.1 不定积分31,实例,启发,能否依据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以依据求导公式得出积分公式.,根本积分表：,10,3.1 不定积分31,根本积分表(I),（,k,是常数）;,说明：,简写为,11,3.1 不定积分31,12,3.1 不定积分31,13,3.1 不定积分31,例 4,求不定积分,解,依据积分公式2,14,3.1 不定积分31,3.1.3 不定积分的几何意义,15,3.1 不定积分31,16,3.1 不定积分31,17,3.1 不定积分31,证,等式成立.,此性质可推广到有限多个函数之和的状况,3.1.4 不定积分的性质,18,3.1 不定积分31,例 6,求不定积分,解,19,3.1 不定积分31,例 7,求不定积分,解,20,3.1 不定积分31,例 8,求不定积分,解,21,3.1 不定积分31,例 9,求不定积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进展恒等变形，才能使用根本积分表.,22,3.1 不定积分31,解,所求曲线方程为,23,3.1 不定积分31,根本积分表(I),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的“互逆”关系,3.1.5 小结与思考题,24,3.1 不定积分31,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,25,3.1 不定积分31,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误.,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类连续点的函数都没有原函数.,26,3.1 不定积分31,课堂练习题,27,3.1 不定积分31,28,3.1 不定积分31,29,3.1 不定积分31,课堂练习题答案,30,3.1 不定积分31,31,3.1 不定积分31,