资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,25.03.20,#,考点一用向量证明空间中的平行和垂直关系,考点清单,考向基础,1.用向量证明空间中的平行关系,(1)设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,则,l,1,l,2,(或,l,1,与,l,2,重合),v,1,v,2,.,(2)设直线,l,的方向向量为,v,与平面,共面的两个不共线向量分别为,v,1,和,v,2,则,l,或,l,存在两个实数,x,y,使,v,=,x,v,1,+,y,v,2,.,(3)设直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,则,l,或,l,v,u,.,2.用向量证明空间中的垂直关系,(1)设直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,v,1,和,v,2,则,l,1,l,2,v,1,v,2,v,1,v,2,=0.,(2)设直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,则,l,v,u,.,(3)设平面,和,的法向量分别为,u,1,和,u,2,则,u,1,u,2,u,1,u,2,=0.,考点一用向量证明空间中的平行和垂直关系考点清单考向基础,1,考向突破,考向用向量证明空间中的平行和垂直关系,例1,如图,在三棱锥,P,-,ABC,中,AB,=,AC,D,为,BC,的中点,PO,平面,ABC,垂足,O,落在线段,AD,上.已知,BC,=8,PO,=4,AO,=3,OD,=2.,(1)证明:,AP,BC,;,(2)若点,M,是线段,AP,上一点,且,AM,=3,试证明平面,AMC,平面,BMC,.,考向突破考向用向量证明空间中的平行和垂直关系例1如,2,证明,(1)如图所示,以,O,为坐标原点,射线,OP,为,z,轴的正半轴建立空间直角坐标系,O,-,xyz,则,O,(0,0,0),A,(0,-3,0),B,(4,2,0),C,(-4,2,0),P,(0,0,4).,于是,=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)(-8,0,0)=0,即,AP,BC,.,(2)由(1)知,AP,=5,又,AM,=3,且点,M,在线段,AP,上,证明(1)如图所示,以O为坐标原点,3,=,=,.,又,=(-4,-5,0),=,+,=,则,=(0,3,4),=0,即,AP,BM,.,又根据(1)的结论知,AP,BC,且,BM,BC,=,B,AP,平面,BMC,AM,平面,BMC,.,又,AM,平面,AMC,故平面,AMC,平面,BMC,.,=.,4,例2,如图,长方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,=,A,1,B,1,=2,BC,=,.,(1)若,E,为线段,CC,1,的中点,求证:平面,A,1,BE,平面,B,1,CD,;,(2)若点,P,为侧面,A,1,ABB,1,(包含边界)内的一个动点,且,C,1,P,平面,A,1,BE,求线段,C,1,P,长度的最小值.,例2如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1,5,解析,由题意知,DA,DC,DD,1,两两垂直,分别以,DA,DC,DD,1,所在直线为,x,轴,y,轴,z,轴建立如图所示的坐标系,则,A,(,0,0),B,(,2,0),C,(0,2,0),A,1,(,0,2),B,(,2,2),C,1,(0,2,2),D,1,(0,0,2),D,(0,0,0).,(1)证明:,E,是线段,CC,1,的中点,E,(0,2,1).,=(,2,2),=(0,2,0),=(0,-2,2),解析由题意知DA,DC,DD1两两垂直,分别以DA,DC,6,=(-,0,1),设,m,=(,x,1,y,1,z,1,)是平面,B,1,CD,的法向量,则,解得,故可取,m,=(-,0,1).,设,n,=(,x,2,y,2,z,2,)是平面,A,1,BE,的法向量,则,解得,故可取,n,=(1,).,m,n,=-,1+0,+1,=0,m,n,故平面,A,1,BE,平面,B,1,CD,.,(2),P,为侧面,A,1,ABB,1,(包含边界)内的一个动点,=(-,0,1),设m=(x1,y1,z1)是平面B1C,7,设,P,(,a,b,),0,a,2,0,b,2,则,=(,a,-2,b,-2).,C,1,P,平面,A,1,BE,n,=,(1,)是平面,A,1,BE,的一个法向量,n,故,n,=,+,(,a,-2)+,(,b,-2)=0,解得,a,=3-,b,故1,b,2,|,|=,=,=,=,.,1,b,2,当,b,=,时,|,|取得最小值,为,.,故线段,C,1,P,长度的最小值为,.,设P(,a,b),0a2,0b2,则=(,a,8,考点二空间角与距离,考向基础,1.向量法求空间角,(1)异面直线所成角公式:设,a,、,b,分别为异面直线,l,1,、,l,2,的方向向量,为异面,直线所成的角,则cos,=|cos|=,.,(2)线面角公式:设,l,为平面,的斜线,a,为,l,的方向向量,n,为平面,的法向量,为,斜线,l,与平面,所成的角,则sin,=|cos|=,.,(3)面面角公式:设,n,1,、,n,2,分别为平面,、,的法向量,二面角为,则,=,或,=-(需要根据具体情况判断相等或互补),其中cos=,.,考点二空间角与距离考向基础,9,(2)线面距离:已知直线,a,平面,直线,a,上一点,B,(,x,0,y,0,z,0,),平面,内一点,A,(,x,1,y,1,z,1,),平面,的一个法向量,n,则直线,a,到平面,的距离为,d,=,;,(3)面面距离:已知平面,平面,平面,内一点,A,(,x,1,y,1,z,0,),平面,内一点,B,(,x,0,y,0,z,1,),平面,(或平面,)的一个法向量,n,则平行平面,间的距离为,d,=,.,2.,向量法求空间距离,(1),点面距离,:,已知平面,外一点,B,(,x,0,y,0,z,1,),平面,内一点,A,(,x,1,y,1,z,0,),平面,的一,个法向量,n,则点,B,到平面,的距离为,d,=,;,(2)线面距离:已知直线a平面,直线a上一点B(x0,y,10,考向一用向量法求线线角、线面角,考向突破,例3,(1)有公共边的等边三角形,ABC,和,BCD,所在平面互相垂直,则异面直,线,AB,和,CD,所成角的余弦值为,.,(2)(2016课标,19,12分)如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,PA,底面,ABCD,AD,BC,AB,=,AD,=,AC,=3,PA,=,BC,=4,M,为线段,AD,上一点,AM,=2,MD,N,为,PC,的中点.,证明,MN,平面,PAB,;,求直线,AN,与平面,PMN,所成角的正弦值.,考向一用向量法求线线角、线面角考向突破例3(1)有,11,解析,(1)设等边三角形,ABC,的边长为2.,取,BC,的中点,O,连接,OA,、,OD,等边三角形,ABC,和,BCD,所在平面互相垂直,OA,OC,OD,两两垂直,以,O,为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.,则,A,(0,0,),B,(0,-1,0),C,(0,1,0),D,(,0,0),=(0,-1,-,),=(,-1,0),cos=,=,=,解析(1)设等边三角形ABC的边长为2.,12,异面直线,AB,和,CD,所成角的余弦值为,.,(2)证明:由已知得,AM,=,AD,=2.,取,BP,的中点,T,连接,AT,TN,由,N,为,PC,中点知,TN,BC,TN,=,BC,=2.,又,AD,BC,故,TN,AM,故四边形,AMNT,为平行四边形,于是,MN,AT,.,异面直线AB和CD所成角的余弦值为.,13,因为,AT,平面,PAB,MN,平面,PAB,所以,MN,平面,PAB,.,取,BC,的中点,E,连接,AE,.由,AB,=,AC,得,AE,BC,从而,AE,AD,且,AE,=,=,=,.,以,A,为坐标原点,的方向为,x,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,A,-,xyz,.,由题意知,P,(0,0,4),M,(0,2,0),C,(,2,0),N,=(0,2,-4),=,=,.,设,n,=(,x,y,z,)为平面,PMN,的法向量,则,即,因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB,14,可取,n,=(0,2,1).,于是|cos|=,=,.,即直线,AN,与平面,PMN,所成角的正弦值为,.,答案,(1),可取n=(0,2,1).答案(1),15,考向二用向量法求二面角,例4,如图,在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,AB,平面,AA,1,C,1,C,AA,1,=,AB,=,AC,=2,A,1,AC,=60,.过,AA,1,的平面交,B,1,C,1,于点,E,交,BC,于点,F,.,(1)求证:,A,1,C,平面,ABC,1,;,(2)求证:四边形,AA,1,EF,为平行四边形;,(3)若,=,求二面角,B,-,AC,1,-,F,的大小.,考向二用向量法求二面角例4如图,在三棱柱ABC-A,16,解析,(1)证明:因为,AB,平面,AA,1,C,1,C,A,1,C,平面,AA,1,C,1,C,所以,A,1,C,AB,.,在三棱柱,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中,AA,1,=,AC,所以平行四边形,AA,1,C,1,C,为菱形,所以,A,1,C,AC,1,.,又,AB,AC,1,=,A,AB,AC,1,平面,ABC,1,所以,A,1,C,平面,ABC,1,.,(2)证明:因为,A,1,A,B,1,B,A,1,A,平面,BB,1,C,1,C,BB,1,平面,BB,1,C,1,C,所以,A,1,A,平,面,BB,1,C,1,C,.,因为平面,AA,1,EF,平面,BB,1,C,1,C,=,EF,所以,A,1,A,EF,.,因为平面,ABC,平面,A,1,B,1,C,1,平面,AA,1,EF,平面,ABC,=,AF,平面,AA,1,EF,平面,A,1,B,1,C,1,=,A,1,E,所以,A,1,E,AF,所以四边形,AA,1,EF,为平行四边形.,(3)在平面,AA,1,C,1,C,内,过,A,作,AM,AC,.,解析(1)证明:因为AB平面AA1C1C,A1C平面A,17,因为,AB,平面,AA,1,C,1,C,所以,AB,AC,AM,两两垂直.,故可建立如图所示的空间直角坐标系,A,-,xyz,.,则,A,(0,0,0),B,(2,0,0),C,(0,2,0),A,1,(0,1,),C,1,(0,3,),所以,=(-2,2,0),=(0,3,).,因为,=,所以,=,=,因为AB平面AA1C1C,所以AB,AC,AM两两垂直.,18,所以,F,所以,=,.,由(1)得平面,ABC,1,的一个法向量为,=(0,1,-,).,设平面,AC,1,F,的法向量为,n,=(,x,y,z,),则,即,令,y,=1,则,x,=-2,z,=-,所以,n,=(-2,1,-,).,所以cos=,=,.,由图可知二面角,B,-,AC,1,-,F,的平面角是锐角,所以二面角,B,-,AC,1,-,F,的大小为45,.,所以F,所以=.,19,平面,ABC,1,;,(2)由面面平行的性质定理、线面平行的性质定理分别得到两组对边互相,平行,进而证明四边形,AA,1,EF,为平行四边形;,(3)由平面的法向量和夹角公式求解.,思路分析,(1)通过证明四边形,AA,1,C,1,C,为菱形,得出,A,1,C,AC,1,从而证得,A,1,C,平面ABC1;思路分析(1)通过证明四边形AA1C1C为,20,考向三用向量法求距离,例5,已知正方形,ABCD,的边长为1,PD,平面,ABCD,且,PD,=1,E,F,分别为,AB,BC,的中点.,(1)求点,D,到平面,PEF,的距离;,(2)求直线,AC,到平面,PEF,的距离.,考向三用向量法求距离例5已知正方形ABCD的边长为,21,解析,(1)建立如图所示的空间直角坐标系,D,-,xyz,则,D,(
展开阅读全文