第八章第3节空间图形的基本关系与公理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/6/6,#,1,第,3,节,空间图形的基本关系与公理,最新考纲,1.,理解空间直线、平面位置关系的定义；,2.,了解可以作为推理依据的公理和定理；,3.,能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题,.,第3节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、,知,识,梳,理,1.,空间图形的公理与定理,(1),公理,1,：如果一条直线上的,_,在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内,(,即直线在平面内,).,(2),公理,2,：经过,_,的三点，有且只有一个平面,(,即可以确定一个平面,).,(3),公理,3,：如果两个不重合的平面有,_,公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线,.,两点,不在同一条直线上,一个,知 识 梳 理1.空间图形的公理与定理两点不在同一条直线上一,(4),公理,4,：平行于同一条直线的两条直线平行,.,(5),公理,2,的三个推论,推论,1,：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面,.,推论,2,：经过两条相交直线，有且只有一个平面,.,推论,3,：经过两条平行直线，有且只有一个平面,.,(6),等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角,_,.,相等或互补,(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.相等或互补,2.,空间点、直线、平面之间的位置关系,直线与直线,直线与平面,平面与平面,平行关系,图形语言,符号语言,a,b,a,相交关系,图形语言,符号语言,a,b,A,a,A,l,独有关系,图形语言,符号语言,a,，,b,是异面直线,a,2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平,3.,异面直线所成的角,(1),定义：过空间任意一点,P,分别引两条异面直线,a,，,b,的平行线,l,1,，,l,2,(,a,l,1,，,b,l,2,),，这两条相交直线所成的锐角,(,或直角,),就是异面直线,a,，,b,所成的角,.,3.异面直线所成的角(1)定义：过空间任意一点P分别引两,微点提醒,1.,空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补,.,2.,异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线,.,3.,两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角,.,微点提醒1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相,基,础,自,测,1.,判断下列结论正误,(,在括号内打,“”,或,“”,),(1),两个平面,，,有一个公共点,A,，就说,，,相交于过,A,点的任意一条直线,.(,),(2),两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,.(,),(3),如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合,.(,),(4),若直线,a,不平行于平面,，且,a,，则,内的所有直线与,a,异面,.(,),基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”,解析,(1),如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误,.,(3),如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误,.,(4),由于,a,不平行于平面,，且,a,，则,a,与平面,相交，故平面,内有与,a,相交的直线，故错误,.,答案,(1),(2),(3),(4),解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只,2.,(,必修,2P28A4,改编,),如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,AB,，,AD,的中点，则异面直线,B,1,C,与,EF,所成角的大小为,(,),A.30 B.45,C.60 D.90,解析,连接,B,1,D,1,，,D,1,C,，则,B,1,D,1,EF,，故,D,1,B,1,C,为所求的角,.,又,B,1,D,1,B,1,C,D,1,C,，,D,1,B,1,C,60.,答案,C,2.(必修2P28A4改编)如图所示，在正方体ABCDA1,3.,(,必修,2P26,例,1,改编,),已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是,(,),A.,梯形,B.,矩形,C.,菱形,D.,正方形,解析,如图所示，易证四边形,EFGH,为平行四边形，因为,E,，,F,分别为,AB,，,BC,的中点，所以,EF,AC,，又,FG,BD,，所以,EFG,或其补角为,AC,与,BD,所成的角，而,AC,与,BD,所成的角为,90,，所以,EFG,90,，故四边形,EFGH,为矩形,.,答案,B,3.(必修2P26例1改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂,4.,(2019,萍乡,调研,),是一个平面，,m,，,n,是两条直线，,A,是一个点，若,m,，,n,，且,A,m,，,A,，则,m,，,n,的位置关系不可能是,(,),A.,垂直,B.,相交,C.,异面,D.,平行,解析,依题意，,m,A,，,n,，,m,与,n,异面、相交,(,垂直是相交的特例,),，一定不平行,.,答案,D,4.(2019萍乡调研)是一个平面，m，n是两条直线，A,5.,(,一题多解,)(2017,全国,卷,),如图，在下列四个正方体中，,A,，,B,为正方体的两个顶点，,M,，,N,，,Q,为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线,AB,与平面,MNQ,不平行的是,(,),5.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体,解析法一,对于选项,B,，如图,(1),所示，连接,CD,，因为,AB,CD,，,M,，,Q,分别是所在棱的中点，所以,MQ,CD,，所以,AB,MQ,，又,AB,平面,MNQ,，,MQ,平面,MNQ,，所以,AB,平面,MNQ,.,同理可证选项,C,，,D,中均有,AB,平面,MNQ,.,因此,A,项中直线,AB,与平面,MNQ,不平行,.,图,(1),图,(2),法二,对于选项,A,，其中,O,为,BC,的中点,(,如图,(2),所示,),，连接,OQ,，则,OQ,AB,，因为,OQ,与平面,MNQ,有交点，所以,AB,与平面,MNQ,有交点，即,AB,与平面,MNQ,不平行,.,答案,A,解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB,6.,(2018,西安调研,),在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别为棱,AA,1,，,CC,1,的中点，则在空间中与三条直线,A,1,D,1,，,EF,，,CD,都相交的直线有,_,条,.,解析,在,EF,上任意取一点,M,，如图，,直线,A,1,D,1,与,M,确定一个平面，,这个平面与,CD,有且仅有,1,个交点,N,，,当,M,取不同的位置就确定不同的平面，,从而与,CD,有不同的交点,N,，,而直线,MN,与这,3,条异面直线都有交点,.,故在空间中与三条直线,A,1,D,1,，,EF,，,CD,都相交的直线有无数条,.,答案,无数,6.(2018西安调研)在正方体ABCDA1B1C1D1,考点一,空间图形的公理,及应用,【例,1,】,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,AB,和,AA,1,的中点,.,求证：,(1),E,，,C,，,D,1,，,F,四点共面；,(2),CE,，,D,1,F,，,DA,三线共点,.,考点一空间图形的公理及应用【例1】如图，在正方体ABCD,证明,(1),如图，连接,CD,1,，,EF,，,A,1,B,，,因为,E,，,F,分别是,AB,和,AA,1,的中点，,又因为,A,1,D,1,綉,BC,，,所以四边形,A,1,BCD,1,是平行四边形,.,所以,A,1,B,CD,1,，,所以,EF,CD,1,，,所以,EF,与,CD,1,确定一个平面,.,所以,E,，,F,，,C,，,D,1,，即,E,，,C,，,D,1,，,F,四点共面,.,证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B，因为E，F分别是,所以四边形,CD,1,FE,是梯形，,所以,CE,与,D,1,F,必相交,.,设交点为,P,，,则,P,CE,平面,ABCD,，,且,P,D,1,F,平面,A,1,ADD,1,，,所以,P,平面,ABCD,且,P,平面,A,1,ADD,1,.,又因为平面,ABCD,平面,A,1,ADD,1,AD,，,所以,P,AD,，所以,CE,，,D,1,F,，,DA,三线共点,.,所以四边形CD1FE是梯形，,规律方法,1.,证明点或线共面问题的两种方法：,(1),首先由所给条件中的部分线,(,或点,),确定一个平面，然后再证其余的线,(,或点,),在这个平面内；,(2),将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合,.,2.,证明点共线问题的两种方法：,(1),先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；,(2),直接证明这些点都在同一条特定直线,(,如某两个平面的交线,),上,.,3.,证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,.,规律方法1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给,【训练,1,】,如图，在空间四边形,ABCD,中，,E,，,F,分别是,AB,，,AD,的中点，,G,，,H,分别在,BC,，,CD,上，且,BG,GC,DH,HC,1,2.,(1),求证：,E,，,F,，,G,，,H,四点共面；,(2),设,EG,与,FH,交于点,P,，求证：,P,，,A,，,C,三点共线,.,【训练1】如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，,证明,(1),E,，,F,分别为,AB,，,AD,的中点，,EF,BD,.,GH,BD,，,EF,GH,.,E,，,F,，,G,，,H,四点共面,.,(2),EG,FH,P,，,P,EG,，,EG,平面,ABC,，,P,平面,ABC,.,同理,P,平面,ADC,.,P,为平面,ABC,与平面,ADC,的公共点,.,又平面,ABC,平面,ADC,AC,，,P,AC,，,P,，,A,，,C,三点共线,.,证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.,考点二判断空间直线的位置关系,【例,2,】,(1),(,一题多解,),若直线,l,1,和,l,2,是异面直线，,l,1,在平面,内，,l,2,在平面,内，,l,是平面,与平面,的交线，则下列命题正确的是,(,),A.,l,与,l,1,，,l,2,都不相交,B.,l,与,l,1,，,l,2,都相交,C.,l,至多与,l,1,，,l,2,中的一条相交,D.,l,至少与,l,1,，,l,2,中的一条相交,考点二判断空间直线的位置关系A.l与l1，l2都不相交,(2),将图,(1),中的等腰直角三角形,ABC,沿斜边,BC,的中线,AD,折起得到空间四面体,ABCD,，如图,(2),，则在空间四面体,ABCD,中，,AD,与,BC,的位置关系是,(,),A.,相交且垂直,B.,相交但不垂直,C.,异面且垂直,D.,异面但不垂直,(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD,解析,(1),法一,由于,l,与直线,l,1,，,l,2,分别共面，故直线,l,与,l,1,，,l,2,要么都不相交，要么至少与,l,1,，,l,2,中的一条相交,.,若,l,l,1,，,l,l,2,，则,l,1,l,2,，这与,l,1,，,l,2,是异面直线矛盾,.,故,l,至少与,l,1,，,l,2,中的一条相交,.,法二,如图,(1),，,l,1,与,l,2,是异面直线，,l,1,与,l,平行，,l,2,与,l,相交，故,A,，,B,不正确；如图,(2),，,l,1,与,l,2,是异面直线，,l,1,，,l,2,都与,l,相交，故,C,不正确,.,(2),折起前,AD,BC,，折起后有,AD,BD,，,AD,DC,，所以,AD,平面,BCD,，所以,AD,