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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,School of Mechanical Engineering,湖南工业大学机械工程学院,Fundamentals of Control Theory,Chap 6 Control-system characteristics,Fundamentals of Control Theory,2014.9,第六章 控制系统的特性,6.1,引言,6.2,劳斯稳定判据,6.3,变量的数学和物理形式,6.4,稳态性能指标,6.5,小结,6.1,引言,对控制系统而言，应满足三个基本要求：稳定性、快速性和准确性。其中稳定性是最重要的，如果系统是不稳定的，就没有必要讨论其余两个要求。但是怎样判断一个控制系统是否稳定呢？,根据已学过的知识，如果一个系统的传递函数如下：,6.1,引言,系统的特征方程为：,通过求解该特征方程可得到该方程的精确根，例如,s,1,s,2,.,s,n,，如果所有的特征根都是具有负实部，则系统是稳定的。如果系统存在一个带正实部的根，则系统是不稳定的。如果系统存在至少一个根的实部为零，则系统是临界稳定的。,6.1,引言,在某些情况下，求解特征方程的精确解有一定困难。例如，对下述特征方程：,从某种程度来说，求解其精确解有一定的困难。,在多数情形下，如果我们只是要判断系统是否稳定，通常没有必要得到特征方程的精确解。但是我们有什么办法解决这个问题呢？劳斯、奈魁斯特、伯德在这方面都做了大量工作。,6.2,劳斯稳定判据,劳斯判据是一种代数判据，利用特征方程的根与其系数之间的关系来确定根在,s,平面的位置，而不用求解出根的实际值。,系统的特征方程为：,(6.2),如果,b,0,为零，除,s,后就得到了方程式,(6.2),所示的形式。所有的,b,均为实系数，从,s,n,到,s,0,的所有各次幂都必须在特征方程式中出现。,6.2,劳斯稳定判据,系统稳定的必要但不充分条件是方程式,(6.2),的系数均为正值。,如果存在任一个系数（不是,b,0,）为零，或者不是所有的系数符号都相同，则可能出现纯虚根、正实部根，则系统是不稳定的。在这种情形下，如果仅仅要求确定系统是否稳定，那么就没有必要继续做下去。,当所有的系数都是正数，则系统可能稳定也可能不稳定，因为仍然有可能有部分根落在虚轴上或在,s,右半平面中。,6.2,劳斯稳定判据,特征方程的系数按如下形式排列成劳斯表的头两行，然后用这些系数计算出整个劳斯表的其余常数。,6.2,劳斯稳定判据,在第,3,行的常数,c,1,、,c,2,、,c,3,计算如下：,按这种方式一直计算到其余的,cs,全为零为止。然后用,s,n-,1,和,s,n-,2,行构成,d,行。这些常数按如下方式计算：,该过程一直进行到,d,行的所有系数均计算完为止。,6.2,劳斯稳定判据,其余行也用这种方法求取，直到,s,0,行为止。整个阵列是三角形的，结尾是,s,0,行。注意,s,1,和,s,0,行每行仅含有一项。一旦求出该劳斯表，劳斯判据指出：特征方程具有正实部的根的数目等于在第一列中系数符号变化的次数。因此，如果第一列的所有各项都具有相同的符号，那么系统是稳定的。,例,1,：,Q,(,s,)=,s,5,+,s,4,+10,s,3,+72,s,2,+152,s,+240,=,0,例,2,：,Q,(,s,)=,s,4,+,s,3,-19,s,2,+11,s,+30,=,0,6.2,劳斯稳定判据,为简化求解过程，对于低阶系统，我们使用如下稳定性判据。,二阶、三阶、四阶系统的劳斯稳定判据：,1.,二阶系统：,n,=2,Q,(s),=b,2,s,2,+b,1,s+b,0,=,0,b,i,0(,i=,0,1,2),2.,三阶系统：,n,=3,Q,(s),=b,3,s,3,+b,2,s,2,+b,1,s+b,0,=,0,b,i,0(,i=,0,1,2,3),b,1,b,2,b,0,b,3,4.,四阶系统：,n,=4,Q,(s),=b,4,s,4,+b,3,s,3,+b,2,s,2,+b,1,s+b,0,=,0,b,i,0(,i=,0,1,2,3,4),b,2,b,3,b,1,b,4,b,1,b,2,b,3,-,b,1,2,b,4,-,b,0,b,3,2,0,6.2,劳斯稳定判据,例,1,.,已知,x,=,0.2,w,n,=,86.6,。,求：为使系统稳定，,K,之取值范围。图为一个系统的输入输出及控制环节，求得输出与输入的比值，然后以分母作为,Q(S),函数，从而算出,k,的值,例,2,.,Q,(,s,),=s,3,+,(,l,+,1),s,2,+,(,l,+,m,-,1),s+,m,-,1,=,0,确定,l,和,m,，使系统稳定。,6.2,劳斯稳定判据,定理,1.,用一正数乘或除某一行的所有元素,任一行的系数可以除或乘一个正数而不改变第一列的符号。把任一行乘以或除以一个常数，可以减少劳斯阵列中各系数的计算量。例如可以使系数变小，因而简化了其余的计算。,例：,Q,(,s,)=,s,6,+,3,s,5,+2,s,4,+9,s,3,+5,s,2,+12,s,+20,6.2,劳斯稳定判据,定理,2.,某行的第一列系数为零,(I),当某一行的第一项为零，但不是其余所有项均为零时，可以利用下面的,3,种方法：,1.,用,s,=1/,x,代入原方程，然后解,x,具有正实部的根，,x,具有的正实部根的数目和,s,具有正实部的根的数目相等。,2.,将原多项式乘以因子,(,s+,1),，,(,s+,1),就引入了一个附加的负根，然后求出新的多项式的劳斯表。,6.2,劳斯稳定判据,定理,2.,某行的第一列系数为零,(II),例：,Q,(,s,)=,s,4,+,s,3,+2,s,2,+2,s,+5,3.,用一个非常小的正实数,e,代替第一列为零的元素。,例：,Q,(,s,),=s,3,+,0.75,s,2,+,4,s+,3,=,0,6.2,劳斯稳定判据,定理,3.,某行所有元素为零,(I),当某一行的所有系数均为零时，按下列步骤进行：,1.,利用该行的上一行的元素构成一个,辅助方程,(,auxiliary equation,),；,2.,用对辅助方程求导得到的新的微分方程的系数代替零行的所有元素。,6.2,劳斯稳定判据,定理,3.,某行所有元素为零,(II),3.,辅助方程的根也是原方程的根，这些根成对出现，互为负数。因此，这些根可以是虚数,(,共轭复数,),或实数,(,一正一负,),，也可能是四元的,(,两对共轭复数根对,),，等等。,例,1,：,Q,(,s,)=,s,4,+2,s,3,+11,s,2,+18,s,+18,例,2,：,Q,(,s,),=s,3,+,10,s,2,+,16,s+,160,例,3,：,Q,(,s,),=,s,5,+2,s,4,+24,s,3,+48,s,2,-25,s,-50,6.2,劳斯稳定判据,赫尔维兹判据,赫尔维兹判据根据系统的行列式,(,determinant,),来确定系统的稳定性。对于特征方程：,6.2,劳斯稳定判据,赫尔维兹判据,系统稳定的充分必要条件是：,(1),b,i,0 (,i=,1,n,),(2),i,0,n,0,n,:,主行列式,；,i,:,对角线上的子行列式,(,i=,1,n,-1),对于低阶系统，劳斯判据和赫尔维兹判据是统一的。,6.2,劳斯稳定判据,例：,根据给定的控制系统方框图：,(1),判断系统是否稳定；,(2),如果系统是不稳定的，你将采取什么措施使系统变为稳定？,6.3,变量的数学和物理形式,在各种控制系统中，图示系统的被控制变量可能具有各种各样的物理形式，如位置、速度、温度、温度的变化速度、电压、流量、压力等等。,一旦图中的方框用传递函数表示后，至于被控制变量的物理形式是什么与系统的分析就无关,紧要了。通常，重要的量是被控制量,c,，,c,的变化率,Dc,和它的二阶导数,D,2,c,，即,c,的最初几阶导数，包括,c,的零阶导数。,6.3,变量的数学和物理形式,对于任何具体的控制系统，每一个数学函数都具有明确的“物理”含意。例如，若控制变量,c,是位置，那么,Dc,为速度，而,D,2,c,就是加速度。如果控制变量,c,是速度，那么,Dc,就是加速度，而,D,2,c,为加速度的变化率。,如果系统的输入信号具有下页图中的不规则形式，它不能用任何简单方程表示，这就不能直观地分析系统的响应。,6.3,变量的数学和物理形式,注意：图,6-2,中的信号可以由三种基本形式的输入组成，即在,cde,段为阶跃函数，在,0,b,段为斜坡函数，在,ef,段为抛物线函数。,由此得出一个结论，如果我们分别考察所给出的线性系统，在这些输入信号中的每一种作用下系统的响应特性，那么就可以建立一种对于不规则输入信号的满意的系统性能分析方法。,6.4,稳态性能指标,稳态误差,(Steady-state error,),：瞬态响应结束后，系统的期望输出,x,or,(,t,),与实际输出,x,o,(,t,),之差，与输入类型的结构参数有关。仅针对稳定系统而言。,1.,系统的误差,e,(,t,),和偏差,e,(,t,),(1),e,(,t,),=x,or,(,t,)-,x,o,(,t,),E,1,(,s,),=X,or,(,s,)-,X,o,(,s,),误差,期望输出,实际输出,6.4,稳态性能指标,(,t,),=x,i,(,t,)-,h,(,t,),*,x,o,(,t,),E,(,s,),=X,i,(,s,)-,H,(,s,),X,o,(,s,),卷积分,偏差,输入,反馈传递函数的单位脉冲响应,实际输出,反馈通道传递函数,6.4,稳态性能指标,反馈控制：利用偏差,E,(,s,),进行控制。,X,o,(,s,),X,or,(,s,),E,(,s,),0,E,(,s,),is used as a control,的是使,X,o,(,s,),X,or,(,s,),X,o,(,s,),=,X,or,(,s,),E,(,s,),=X,i,(,s,)-,H,(,s,),X,or,(,s,),X,i,(,s,),=H,(,s,),X,or,(,s,),期望输出,反馈通道传递函数,输入,6.4,稳态性能指标,E,1,(,s,),=X,or,(,s,)-,X,o,(,s,),E,(s,)=X,i,(,s,),-H,(,s,),X,o,(,s,),X,i,(,s,),=H,(,s,),X,or,(,s,),E,1,(,s,),=X,or,(,s,)-,X,o,(,s,),E,(s,)=H,(,s,),X,or,(,s,),-H,(,s,),X,o,(,s,),=H,(,s,)(,X,or,(,s,)-,X,o,(,s,),=H,(,s,),E,1,(,s,),偏差,误差,对于单位反馈系统，,E,(,s,),=E,1,(s),即,e,(,t,),=e,(,t,),6.4,稳态性能指标,2.,与输入有关的稳态偏差,根据拉普拉斯变换的终值定理：,6.4,稳态性能指标,(1),单位阶跃输入,x,i,(,t,),=u,-1,(,t,),=,1,时的稳态偏差及位置无偏系数：,令：,，,位置无偏系数。,则：,单位阶跃输入时的稳态偏差，又称为,稳态位置偏差。,与输入有关的稳态偏差,6.4,稳态性能指标,(2),单位斜坡输入,x,i,(,t,),=tu,-1,(,t,),时的稳态偏差及速度无偏系数：,令：,，速度无偏系数。,则：,单位斜坡输入时的稳态偏差，又称为,稳态速度偏差。,与输入有关的稳态偏差,6.4,稳态性能指标,(3),单位抛物线输入,x,i,(,t,),=,t,2,u,-1,(,t,),时的稳态偏差及加速度无偏系数：,令：,:,，加速度无偏系数。,则：,单位抛物线输入时的稳态偏差，又称为,稳态加速度偏差。,与输入有关的稳态偏差,6.4,稳态性能指标,将传递函数用一种更加通用的形式来表达：,3.,系统结构：,G,k,(,s,),对,e,ss,的影响,式中：,a,
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