资源描述
,7.6,空间向量及其运算,1,空间向量的概念：,在空间,，我们把具有大小和方向的量叫做向量,(1),空间的一个,就是一个向量,(2),向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示,的向量,(3),空间的两个向量可用,的两条有向线段来表示,2,空间向量的运算,定义,：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如,下：,a,b,；,同一或相等,同一平面内,平移,3,运算律：,(1),加法交换律：,a,b,.,(2),加法结合律：,(,a,b,),c,(3),数乘分配律：,(,a,b,),.,4,共线向量定理：,空间任意两个向量,a,、,b,(,b,0),a,b,的充要条件是存在实,数,，使,.,5,共面向量定理：,如果两个向量,a,，,b,不共线，,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件,是存在实数,x,，,y,使,.,b,a,a,(,b,c,),a,b,a,b,p,xa,yb,6,空间向量基本定理：,如果,三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在一个唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,.,7,空间向量的夹角及其表示：,已,知两非零向量,a,，,b,，在空间任取一点,O,，作,，则,AOB,叫做向量,a,与,b,的夹角，记作,a,，,b,；且规定,0,a,，,b,，显然有,a,，,b,b,，,a,；若,a,，,b,，则称,a,与,b,，记作：,a,b,.,8,向量的模：,设,a,，则有向线段,的,叫做向量,a,的长度或模，,记作：,|,a,|.,p,xa,yb,zc,互相垂直,长度,9,向量的数量积：,已知向量,a,，,b,，,则,|,a,|,b,|cos,a,，,b,叫做,a,，,b,的,，,记作,a,b,，,即,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,10,空间向量数量积的性质,(1),a,e,|,a,|cos,a,，,e,；,(2),a,b,a,b,0,；,(3)|,a,|,2,a,a,.,11,空间向量数量积运算律,(1)(,a,),b,(,a,b,),；,(2),a,b,(,交换律,),；,(3),a,(,b,c,),(,分配律,),数量积,a,(,b,),b,a,a,b,a,c,1,已知向量,a,平面,，向量,a,所在直线为,a,，则,(,),A,a,B,a,C,a,交,于一点,D,a,或,a,答案：,D,2,如图，在四面体,P,ABC,中，,G,为,ABC,的重心，且,，,则,_.(,用,a,，,b,，,c,表示,),答案：,(,a,b,c,),3,已知,a,(2,，,1,3),，,b,(,4,2,，,x,),，,c,(1,，,x,2),若,(,a,b,),c,，,则,x,_.,解析：,a,b,(,2,1,3,x,),，,(,a,b,),c,0,，,2,x,2(3,x,),0,，从而,x,4.,答案：,4,4,如图，在四面体,O,ABC,中，,a,，,b,，,c,，,D,为,BC,的中点，,E,为,AD,的中点，则,_.(,用,a,，,b,，,c,表示,),解析：,答案：,计算平行六面体体对角线的长度与求异面直线上两点间的距离实质上是同一问题利用向量法求平行六面体的体对角线长与几何法相比有着非常明显的优势,【例,1,】,已知在一个,60,的二面角的棱上，如右图，有两,个点,A,、,B,，,AC,、,BD,分别是在这个二面角的两个,面内垂直于,AB,的线段，且,AB,4 cm,，,AC,6 cm,，,BD,8 cm,则,CD,的长为,_,解析：,，则,6,2,4,2,8,2,2,6,8cos 120,68.,|,|,2 (cm),答案：,2 cm,变式,1.,平行,六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，向量,两两的夹角均为,60,，且,|,|,1,，,则,等于,(,),A,5 B,6 C,4 D,8,解析：,，,1,2,2,2,3,2,1,2,2,3,3,1,25.,则,5.,答案：,A,利用共面向量定理可解决四点共面和直线与平面平行等问题,【例,2,】,如右图,，已知平行六面体,ABCD,A,B,C,D,，,E,、,F,、,G,、,H,分别是棱,A,D,、,D,C,、,C,C,和,AB,的中点，求证,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,证明,:,取,则,与,b,、,c,共面,.,即,E,、,F,、,G,、,H,四点共面,.,变式,2.,如右图,，,PA,平面,ABCD,，,ABCD,是矩形，,M,、,N,分别是,AB,、,PC,的中点，求证：,MN,平面,PAD,.,证明,:,设,则,与,b,、,c,向量共面，即,MN,平面,PAD,.,利用平行向量的充要条件可解决三点共线和直线与直线平行等问题,【例,3,】,如右图,，在棱长为,a,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,G,为,BC,1,D,的重心，,(1),试证,A,1,、,G,、,C,三点共线；,(2),试证,A,1,C,平面,BC,1,D,；,(3),求点,C,到平面,BC,1,D,的距离,解答：,(1),证明,：,可以证明：,即,A,1,、,G,、,C,三点共线,(2),证明：设,则,|,a,|,|,b,|,|,c|,a,，且,a,b,b,c,c,a,0,，,a,b,c,，,c,a,，,(,a,b,c,),(,c,a,),c,2,a,2,0,，,，同理可证：,，因此,A,1,C,平面,BC,1,D,.,(3),a,b,c,，,a,2,b,2,c,2,3,a,2,，即,|,|,a,，因此,.,即,C,到平面,BC,1,D,的距离为,a,.,1,利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题,2,利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题,3,要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程,4,通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题,.,【方法规律,】,(,本题满分,12,分,),已知如图所示，平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面,ABCD,是菱形,，,且,C,1,CD,C,1,CB,BCD,60,(1),求证,：,C,1,C,BD,；,(2),当,的值是多少时,，,能使,A,1,C,平面,C,1,BD,？,请给出证明,.,解答：,(1),证明,：连结,A,1,C,1,、,AC,；,AC,交,BD,于,O,，连,C,1,O,，,四边形,ABCD,为菱形，,AC,BD,，,DO,BO,，又,BCC,1,DCC,1,，,CC,1,CC,1,，,C,1,BC,C,1,DC,，,C,1,B,C,1,D,，,DO,BO,，,C,1,O,BD,，又,AC,BD,，所以,BD,平面,AC,1,，又,CC,1,平面,AC,1,.,CC,1,BD,.,(2),由,(1),知：,BD,平面,AC,1,，因为,A,1,C,平面,AC,1,，,所以,BD,A,1,C,，当 ,1,时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理：,BC,1,A,1,C,.,又,BD,BC,1,B,，,A,1,C,平面,C,1,BD,.,【答题模板,】,解法二：,(1),证明：取,由已知,|,a,|,|,b,|,，且,a,，,b,b,，,c,c,，,a,60,，,BD,CD,CB,a,b,，,C,1,C,B,c,(,a,b,),c,a,c,b,|,c,|,a,|,|,c,|,b,|,0,，,C,1,C,BD,.,(2),若,A,1,C,平面,C,1,BD,，则,A,1,C,C,1,D,，,CA,1,a,b,c,，,C,1,D,a,c,.,CA,1,C,1,D,0,，即,(,a,b,c,),(,a,c,),0.,整理得：,3,a,2,|,a,|,c,|,2,c,2,0,，,(3|,a,|,2|,c,|)(|,a,|,|,c,|),0,，,|,a,|,|,c,|,0,，即,|,a,|,|,c,|.,即当,1,时，,A,1,C,平面,C,1,BD,.,向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题,本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程,这样就很好地解决：,“,会做的题目花费时间过多,”,这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要,.,【分析点评,】,点击此处进入 作业手册,
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