正态分布大数定律与中心极限定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、正态分布的概率密度函数与分布函数,1.,背景：,正态分布是现代统计学的基础。,18,世纪科学家发现测量的误差具有惊人的规律性，这种规律性满足类似于某种特殊的,“,中间大，两头小,”,的特征，现实中众多的问题都具有这种特性，棣美佛、拉普拉斯、高斯是最初研究类似现象并发现了其密度和分布的数学家。他们将这种分布称为正态分布。,2.,一般正态分布的概率密度函数与分布函数,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,记作,其中,及,0,都为常数，这种分布叫做,正态分布,或,高斯分布,。,设连续型随机变量,X,的概率密度为,1.,正态变量的密度函数,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,特别地，当 时，正态分布 叫做,标准正态分布,。,其概率密度为,2.,正态分布 的密度曲线,若固定,=0,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,0.5,3.,正态变量的分布函数,4.,标准正态分布的密度函数与分布函数,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,4.,正态密度函数的性质,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,（,3,）,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,若,求,X,落在区间,内的概率，,其中,例题,4.1.2,例题,4.1.1,解：查表可得：,故,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,解,查表得,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,拐点,拐点,随机变量,X,落在,之外的概率小于,3,。,通常认为这一概率很小，根据小概率事件的实际不可能性,原理，我们常把区间,看作是随机变量,X,的,实际可能的取值区间这一原理叫做,三倍标准差原理,（或,3,法则,）。,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例,4.1.3,把温度调节器放入储存着某种液体的容器中，,调节器的设定温度,为,d,度,已知液体的温度,T,是随机变量，且,（,1,）若,度的概率；,度，求,（,2）若要求保持液体的温度至少为,80,度的概率不少于,0.99,，,问,d,至少为多少度？,解,（,1,）由已知，所求的概率为,（,2,）据题意，需求,d,使得,因为,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,利用,0.9901,正态分布表，有,所以,即,故设定温度,d,至少为,81.165,度.,一般,地,，给定实数,存在,实数,使得,为随机变量,X,上的,则称,百分位点.,百分位点的解释和应用在数理统计部分还要详细说明,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,二、正态分布的数字特征,1.,数学期望,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,1.,方差,3.,中心矩,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,若,k,为偶数，,若,k,为奇数，奇函数对称积分,则：,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.1.4,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.1.5,（,2009,，,4,分）,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,二维随机变量,(,X,Y,),的正态分布概率密度表示如下：,其中，参数 及 分别是随机变量,X,及,Y,的数,学期望，,及 分别是它们的标准差，,参数,参数,r,是它们的相关系数。,三、二维正态分布,1.,二维正态分布的密度,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,2.,二维正态分布的边缘密度,定理,4.2.1,其中,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,置换积分变量,但是，一定注意，,反过来，两个一维正态分布未必能确定二维正态分布,.,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,3.,二维正态分布的独立性与相关系数,应用相关系数公式,能够计算出：,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,另外,若设相关系数为零，则,如果随机变量,X,与,Y,独立,并且都服从正态分布,则,在二维正态分布中，独立性与不相关是一致的，,这是二维,正态分布的一个重要特征.,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例,4.2.2,设随机变量,X,与,Y,独立,并且都服从正态分布,N,(0,1),求,的,概率密度,.,解,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.2.3,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,四、正态变量的线性函数的分布,定理,4.3.1,证,由于,是单调函数，且反函数为,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,推论,定理,4.3.2,证,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,以上结论还可以推广到更一般的情况,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.3.1,定理,4.3.3,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.3.2,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,四、切比雪夫定理,1.,背景：,若已知一个随机变量分布的均值与方差，那么随机变量值的是以什么形式集中在均值附近？例如某年级,1000,名学生线性代数课程成绩的均值为,85,分，我们关心的是，有多少学生的成绩集中在均值附近？,2.,切比雪夫定理（不等式）：,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.4.1,设独立随机变量,并且方差是,一致有上界,的，即存在某,则对于任何正数,，恒有,定理,2,（切比雪夫大数定理）,分别有数学期望,及方差,D,(,X,1,),一常数,K,，,使得,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,证,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,3.,依概率收敛定义,推论：,存在,:,设独立随机变量,服从同一分布,期望及方差,则对于任何正数,，有,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,在独立试验序列中,设事件,A,的概率,P,(,A,),=,p,，,定理,3(,伯努利定理）,按概率收敛于事件,A,的概率,p,.,即对于任何正数,则事件,A,在,n,次独立试验中发生的频率,f,n,(A),当试验次数,有,证,设随机变量,X,i,表示事件,A,在第,i,次试验中发生的次数,(,i,=1,2,n,),则这些随机变量相互独立，服从相同的,0-1,分布，,且有数学期望与方差：,由切比雪夫定理的推论即得,而,就是事件,A,在,n,次试验中发生的次数,m,，由此可知,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,五、中心极限定理,1.,背景,：,大数定理告诉我们，随机变量个数很大时，独立随机变量之和收敛于其均值的和。此时，独立随机变量之和的标准变量的概率分布应是什么状态？中心极限定理告诉我们，变量个数很大时，和的分布依概率收敛于标准正态分布。,设随机变量之和为,:,且数学期望和方差都存在：,设随机变量,相互独立,则,则和的标准变量为：,2.,中心极限定理变量的设定,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,列维定理,服从相同的分布，,并且有数学期望和方差：,则当 时，,(,z,为任意实数,),设独立随机变量,它们和的极限分布是正态分布，即,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,各次实验中发生的概率为,棣莫弗,拉普拉斯定理,n,次实验中发生的次数,则有,其中,z,是任何实数，,设在独立实验序列中,事件,A,在,随机变量 表示事件,A,在,为任意实数,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,当,n,充分大时,变量 近似地服从正态分布,由于随机变量服从二项分布,所以,棣莫弗,拉普拉斯,定理说明,:,的随机,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,例题,4.5.1,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,第四章 正态分布、大数定律与中心极限定理,