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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,组合,(1),组合(1),问题一：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,有顺序,无顺序,问题情境,:,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，,(3),从,1,、,2,、,3,三个数字中选两个数字,能构成多少个不同的集合,?,这两个问题与上一节中相应的排列问题,有何区别,?,有何联系,?,问题情境,:,(3)从1、2、3三个数字中选两个数字,这两个问题与上一节,一般地，从,n,个不同的元素中取出,m(mn),个元素并成一组，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合。,排列与组合的联系与区别：,1,、都是从,n,个不同的元素中取出,m,个元素，且,mn,2,、有序问题是排列，无序问题是组合。,3,、同一组合只要元素完全相同。,从,n,个不同的元素中取出,m(mn),个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同的元素中取出,m,个元素的组合数。用符号 表示。,建构数学,:,一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成,例,1,、下列问题中哪些是排列问题？哪些是组合问题？,（,2,）从,1,3,5,9,中任取两个数相加，可得多少个不同的和？,（,3,）从,1,3,5,7,中任取两个数相除，可得多少个不同的商？,（,4,）从,50,件不同的产品中抽出,5,件来检查，有多少种不同的抽法？,（,1,）某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需多少种不同的车票？,（,5,）,5,个人互送照片一张，共送了多少张照片？,（,6,）集合,A=a,b,c,d,e,的含有,3,个元素的子集有多少个？,例1、下列问题中哪些是排列问题？哪些是组合问题？,(1),设集合,A,=,a,b,c,d,e,，则集合,A,的含有,3,个元素的,子集有多少个,?,(2),某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需准备,多少种车票,?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10,名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法,?,组合问题,(4)10,人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次,?,组合问题,(5),从,4,个风景点中选出,2,个安排游览,有多少种不同的方法,?,组合问题,(6),从,4,个风景点中选出,2,个,并确定这,2,个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法,?,排列问题,组合问题,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元,如,:,从,a,b,c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是,:,ab,ac,bc,如,:,已知,4,个元素,a,b,c,d,写出每次取出两个,元素的所有组合,.,a,b c d,b,c d,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,(3,个,),6,个,如:从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有,练习,:,中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军,（,1,）列出所有各场比赛的双方；,（,2,）列出所有冠亚军的可能情况,。,（,1,）中国,美国 中国,古巴 中国,俄罗斯,美国,古巴 美国,俄罗斯 古巴,俄罗斯,（,2,）,冠军,中,中,中,美,美,美,古,古,古,俄,俄,俄,亚军,美,古,俄,中,古,俄,中,美,俄,中,美,古,练习:中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛,从,n,个不同的元素中取出,m,个元素的排列，可以分成两步：,第一步：先从,n,个不同的元素中取出,m,个元素进行组合。,组合数公式：,第二步：再求每一个组合中,m,个元素的全排列。,从n个不同的元素中取出m个元素的排列，可以分成两步：,例,1,计算：,例,2,求证：,例1计算：例2求证：,例,2.,下面的问题是排列问题,?,还是组合问题,?,(1),从,1,3,5,9,中任取两个数相加,可以得到多少个不同的和,?,(2),从,1,3,5,9,中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商,?,(3)10,个同学毕业后互相通了一次信,一共写了多少封信,?,(4)10,个同学毕业后又见面时,互相握了一次手,共握了多少次手,?,数学应用,:,例2.下面的问题是排列问题?还是组合问题?数学应用:,例,3.,计算,:C,9,2,C,8,5,C,35,7,例3.计算:C92 C85 C35,例,4.,求证,:C,n,m,=C,n,m+1,.,例4.求证:Cnm=Cnm+1.,例,5.,在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从,5,个试题中任意选答,3,题,问,;,有几种不同的选题方法,?,若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法,?,例5.在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从,2.(1),凸五边形有多少条对角线？,(2),凸,n,（,n3,）边形有多少条对角线？,1.(1),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端 点的线段共有多少条？,(2),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条？,练习,2.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n3）边形,组合,(2),组合(2),组合数公式,组合数公式,问题,1,：,为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？,从,10,个元素中取出,7,个元素后，还剩下,3,个元素，就是说，从,10,个元素中每次取出,7,个元素的一个组合，与剩下的,(10-7),个元素的组合是一一对应的。因此，从,10,个元素中取,7,个元素的组合，与从这,10,个元素中取出,(10-7),个元素的组合是相等的,问题情境,问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进,问题,2,：,上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？,一般地，从,n,个不同元素中取出,m,个元素后，剩下,n,m,个元素因为从,n,个不同元素中取出,m,个元素的每一个组合，与剩下的,n,m,个元素的每一个组合一一对应，所以从,n,个不同元素中取出,m,个元素的组合数，等于从这,n,个元素中取出,n,m,个元素的组合数,问题2：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？一般地,1,、组合数性质,1,：,证明：根据组合数公式有,知识新授,1、组合数性质1：证明：根据组合数公式有知识新授,说明：,2,、为了使性质,1,在,m,n,时也能成立，规定,1,、为简化计算，当,m,时，通常将计算 改为计算,1,、组合数性质,1,：,4,、练习：计算,说明：2、为了使性质1在mn时也能成立，规定1、为简化,一个口袋内装有大小相同的,7,个白球和,1,个黑球,从口袋里取出,3,个球，共有多少种取法？,从口袋里取出,3,个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？,从口袋里取出,3,个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,从引例中可以发现一个结论：,对上面的发现,(,等式,),作怎样解释？,问题情境,问题,1,：,一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球从引例中可以发现一,问题,2,：,从,n+1,个元素中取出,m,个元素的组合，可以看成从,n+1,个元素中分两类抽取，其中一类是含元素 时抽取,m-1,个即 ，另一类是不含元素 时抽取,m,个即 ，由分类计数原理有：,.,问题2：从n+1个元素中取出m个元素的组合，可以看成,2,、组合数性质,2,：,证明：,2、组合数性质2：证明：,说明：,性质,2,常用于恒等式变形和证明等式,.,规律是,“,下标相同,上标相邻的两个组合数相加,结果是一个组合数,:,下标加,1,上标取大,”,.,性质,2,既体现了,“,分解性,”,由左到右，又体现了,“,合并性,”,由右到左,.,应灵活运用，以便解题；,以上两个性质，既可用组合数公式证明，也可根据组合定义得到,.,练习：计算,说明：性质2常用于恒等式变形和证明等式.规律是“下标相同,例题讲解：,例,1,、计算,例题讲解：例1、计算,例,2,、解方程或不等式,例,3,、求值：,n=3,m=7,、,8,、,9,例2、解方程或不等式例3、求值：n=3m=7、8、9,学生活动,2,证明,1,解方程,学生活动2证明1解方程,例,4.,某医院有内科医生,8,人,外科医生,5,人,现欲从中抽调,5,名医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线,变,1,:,内科医生至少,3,人,外科医生至少,1,人,有多少种不同的抽调方法,?,变,2,:,内科医生和外科医生都要有人参加,有多少种不同的抽调方法,?,内科医生,3,人,外科医生,2,人,有多少种不同的抽调方法,?,例4.某医院有内科医生8人,外科医生5人,现欲从中抽调5,例,5.,在,100,件产品中,有,98,件合格品,2,件不合格品,从这,100,件产品中任意抽出,3,件,.,(1),一共有多少种不同的抽法,?,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是不合格品的抽法有多少种,?,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件不合格品的抽法有多少种,?,例5.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品,房间里有,5,个电灯，分别由,5,个开关控制，至少开一个灯照明，有多少种不同的方法？,可以直接法,也可间接法,.,比较两种解法,你能得出什么结论,?,学生活动,房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开一个灯照明，有多,课堂小结：,1,、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明，也可以用解决组合问题的基本思路来推导；,2,、性质,1,常用于 时组合数的计算，,性质,2,常用于恒等式变形和证明等式；,3,、利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时可结合题目的特点，灵活运用公式变形达到解题目的,.,课堂小结：1、组合数的两个性质既可以用组合数公式进行推导证明,学生活动,学生活动,
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