一维势场中粒子能量本征态的一般性质课件

,量子力学教程,量子力学教程,2.1,一维势场中粒子能量本征态的一般性质,量子力学教程,(,第二版,),引 言,本章主要是用,Schr,dinger,方程来处理一维粒子的能量本征态问题,.,下面先讨论一维粒子的能量本征态的一些共同的,特点,.,一维定态问题数学处理简单，便于严格求解。作为量子体系，同样可展现量子问题的主要特征，因而是处理复杂问题的基础。,引 言本章主要是用 Schrdinger方程来处理,设质量为,m,的粒子在一维势场 中,(,考虑,定态,的情况下,),的能量本征方程为,（,1,）,为能量本征值,.,为相应的能量本征态,.,2.1,一维势场中粒子能量本征态的一般性质,在上式中,，,(,实数值,),设质量为m的粒子在一维势场,在求解能量本征方程,(1),时，要根据具体物理问题的边条件来定解如,束缚态条件,散射态的边沿条件,等,.,为此,先讨论其一般解有关的七条基本性质其中前,4,条,不仅对一维问题成立,对于三维问题也同样适用,.,注 意,下面先对该方程的解的,一般性质,进行讨论,在求解能量本征方程(1)时，要根据具体物理问题的边条件来,定理,1,也是方程,(1),的一个解，对应的能量也是,则,设,应的能量本征值为,是能量本征方程,(1),的一个解，对,设,，,假设对应于能量的某个本征值,方程,(1),解无简并,(,即只有一个独立的解,),则可取为实解,(,除了一个无关紧要的常数因子之外,).,证明：,将,Schrdinger,方程取复共轭即得证。,定理1也是方程 (1)的一个解，对应的能量也是则设应的能量,对应于能量的某个本征值,，,总可以找到,方程,(1),的一组实解,凡是属于,的任何解，均可,表示为这一组实解的线性叠加。,定理,2,对于能级有简并的情况,要用到此定理,.,说 明,证明：,将,用定理,1,和态叠加原理可证,(,见,P.28),。,对应于能量的某个本征值，总可以找到方程(1)的一组实解,凡是,定理,3,定 义,空间反射算符,即把空间坐标,设 具有空间反射不变性，如 是方程（,1,）的对应于能量本征值 的解，则 也是方程（,1,）的对应于能量 的解,.,对于一维粒子有,证明：,对,Schrdinger,方程做,空间反射,可证,(P.28),。,定理3定 义空间反射算符 即把空间坐标 设,偶宇称解,(even parity),奇宇称解,(odd parity),一维谐振子和一维对称方势阱都是具有空间反射对称性，它们的能量本征态都有确定的宇称。,如果对应于某能量 方程,(1),的,解无简并,则解必有,确定的,宇称,(parity).,偶宇称解 奇宇称解 一维谐振子和一维对称,对于,能级有简并,的情况，能量本征态并不一定就具有确定宇称。此时，可以用定理（,4,）来处理。,定理,4,设 则对应于任何一个能量本征值 总可以找到方程,(1),的一组解,(,每个解都有确定的宇称,),而属于能量本征值 的任何解，都可用它们来展开,.,证明：,通过构造奇偶函数即可证,(P.29),。,适用范围,对于能级有简并的情况，能量本征态并不一定就具,在坐标表象中,涉及波函数 及其各阶导数的连续性问题,应从能量本征方程,(1),出发,根据 的性质进行讨论,.,如 是 的连续函数,则 与 必为 的连续函数,.,但是,如 不连续,或有某种奇异性,则 及其各阶导数的连续性问题需要具体分析,.,在坐标表象中,涉及波函数 及其,对于 有限的阶,梯形方位势,（,2,）,定理,5,对于,一维有限深方势阱,，这个定理明显成立,.,能量本征函数 及其导数 必定是连续的,(,但如 ，则定理不成立,).,证明：,通过证明 的导数连续而得证,(P.29),。,V,2,V,(,x,),x,0,a,V,1,对于 有限的阶（2）定理5对于一维有,（,3,）,定理,6,注意,对于,束缚态,(,bound state),当,时,所以式,(3),中常数必为,0.,推论,因此,对于同属于能量 的 任何两个束缚态波函数 与,对于一维粒子，设 与 均为方程（,1,）的属于同一能量 的解，则,证明：,利用,Schrdinger,方程并积分而得证,(P.30),。,（3）定理6注意 对于束缚态(bound stat,定理,7,对于常见的不规则势阱,(,如无限深势阱,势阱等,),在绝大多数情况下上述定理也成立,.,注意,对于某些不规则势阱,如一维氢原子 除基态外，其他束缚态均为二重简并。其特征是波函数的节点出现在 的奇异点处，两个简并态具有不同宇称。,设粒子在规则（,regular,）势场 中运动,(,无奇点,),，如存在束缚态，则必定不简并。,证明：,利用定理（,6,）并积分而得证,(P.30),。,定理7 对于常见的不规则势阱(如无限深势阱,由粒子运动实际情况正确写出势函数,V,(,x,),代入定态薛定谔方程,解方程,解出能量本征值和相应的本征函数,求出概率密度分布及其他力学量,量子力学解题的一般思路,常见的理想位势,由粒子运动实际情况正确写出势函数V(x)量子力学解题的一,自由粒子,方势阱,方势阱,无限深方势阱,几种势函数,自由粒子方势阱方势阱无限深方势阱几种势函数,方势阱,方势阱是实际情况的极端化和简化,分子束缚在箱子内,三维方势阱,金属中的电子,例如,方势阱方势阱是实际情况的极端化和简化分子束缚在箱子内三维方,势垒,梯形势,散射问题,势垒,隧道贯穿,势垒梯形势势垒,其他形式,超晶格,谐振子,其他形式超晶格谐振子,量子力学中常用的,二阶常系数齐次线性微分方程的解,对方程,其特征方程为,量子力学中常用的对方程其特征方程为,a,金属,V,(,x,),V,=,V,0,V,=,V,0,E,V,=0,x,极,限,V,=0,E,V,V,V,(,x,),x,0,a,无限深方势阱,potential well,一维无限深方形势阱 分立谱,a金属V(x)V=V0V=V0EV=0 x极限V=0EVV,V,=0,E,V,V,V,(,x,),x,0,a,无限深势阱的特点：,粒子在势阱内受力为零,势能为零,在阱内自由运动,在阱外势能为无穷大,在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外,下面将对有关问题作定量求解,V=0EVVV(x)x0a无限深势阱的特点：粒子在势,