1[1]2 命题及其关系、充分条件与必要条件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,要点梳理,1.,命题的概念,在数学中用语言,、,符号或式子表达的,可以,_,的陈述句叫做命题,.,其中,_,的语句叫真命题,_,的语句叫假命题,.,1.2,命题及其关系、充分条,件与必要条件,判断真假,判断为真,判断为假,基础知识 自主学习,2.,四种命题及其关系,（,1,）四种命题,命题,表述形式,原命题,若,p,，则,q,逆命题,_,否命题,_,逆否命题,_,若,q,则,p,（,2,）四种命题间的逆否关系,逆命题,逆否命题,否命题,(3),四种命题的真假关系,两个命题互为逆否命题，它们有,_,的真假性,;,两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假,性,_.,3.,充分条件与必要条件,(1),如果,p,q,则,p,是,q,的,_,q,是,p,的,_;,(2),如果,p,q,q,p,则,p,是,q,的,_.,4.,特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件,又,否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的,结论,.,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,基础自测,1.,下列语句是命题的是 （）,求证 是无理数；,x,2,+4,x,+40,；,你是高一的学生吗？,一个正数不是素数就是合数；,若,x,R,，则,x,2,+4,x,+70.,A.B.C.D.,解析,不是命题，是祈使句，是疑问句,.,而,是命题，其中是假命题，如正数 既不是,素数也不是合数，是真命题，,x,2,+4,x,+4=(,x,+2),2,0,恒成立，,x,2,+4,x,+7=(,x,+2),2,+30,恒成立,.,答案,C,2.,命题,“,若,x,2,y,2,，则,x,y,”,的逆否命题是 （）,A.,“,若,x,y,，则,x,2,y,则,x,2,y,2,”,C.,“,若,x,y,，则,x,2,y,2,”,D.,“,若,x,y,则,x,2,y,2,”,C,3.,(2009,江西文,1),下列命题是真命题的为（）,A.,B.,若,x,2,=1,则,x,=1,C.,若,x,=,y,则,D.,若,x,y,则,x,2,d,则,“,a,b,”,是,“,a,-,c,b,-,d,”,的 （）,A.,充分而不必要条件,B.,必要而不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,c,d,-,c,b,a,-,c,与,b,-,d,的大小无法比较；,当,a,-,c,b,-,d,成立时，假设,a,b,-,c,-,d,a,-,c,b,.,综上可知，,“,a,b,”,是,“,a,-,c,b,-,d,”,的必要不充分,条件,.,B,题型一 命题的关系及命题真假的判断,【,例,1,】,分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否,命题，并判断它们的真假,.,（,1,）面积相等的两个三角形是全等三角形,.,（,2,）若,q,1,则方程,x,2,+2,x,+,q,=0,有实根,.,（,3,）若,x,2,+,y,2,=0,，则实数,x,、,y,全为零,.,写成,“,若,p,，则,q,”,的形式,写出逆命题、否命题、逆否命题,判断真假,思维启迪,题型分类 深度剖析,解,（,1,）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题,.,否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，,真命题,.,逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命,题,.,(2),逆命题：若方程,x,2,+2,x,+,q,=0,有实根,则,q,b,+,d,q,:,a,b,且,c,d,B.,p,:,a,1,b,1,q,:,f,(,x,)=,a,x,-,b,(,a,0,且,a,1),的图象不过,第二象限,C.,p,:,x,=1,，,q,:,x,2,=,x,D.,p,:,a,1,q,:,f,(,x,)=,log,a,x,(,a,0,且,a,1),在（,0,+,）上,为增函数,解析,由于,a,b,c,d,a,+,c,b,+,d,，而,a,+,c,b,+,d,却不一定,推出,a,b,c,d,.,故,A,中,p,是,q,的必要不充分条件,.B,中,当,a,1,b,1,时，函数,f,(,x,)=,a,x,-,b,不过第二象限,当,f,(,x,)=,a,x,-,b,不过第二象限时，有,a,1,b,1.,故,B,中,p,是,q,的充分不,必要条件,.C,中，因为,x,=1,时有,x,2,=,x,，但,x,2,=,x,时不一定有,x,=1,，故,C,中,p,是,q,的充分不必要条件,.D,中,p,是,q,的充要条,件,.,答案,A,题型三 充要条件的证明,【,例,3,】,（,12,分）求证方程,ax,2,+2,x,+1=0,有且只有一个,负数根的充要条件为,a,0,或,a,=1.,思维启迪,（,1,）注意讨论,a,的不同取值情况；,（,2,）利用根的判别式求,a,的取值范围,.,证明,充分性：,当,a,=0,时，方程变为,2,x,+1=0,，其根为,方程只有一负根,.2,分,当,a,=1,时，方程为,x,2,+2,x,+1=0,，其根为,x,=-1,方程只有一负根,.4,分,当,a,0,，方程有两个不相等的根，,且,这个条件是其充分条件,吗？为什么？,证明,设,x,2,+,ax,+1=0,的两实根为,x,1,x,2,则平方和大于,3,的等价条件是,|,a,|,这个条件是必要条件但不是充分条件,.,1.,当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必,须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并,列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其,中一个（或,n,个）作为大前提,.,2.,数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命,题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都,是真的,.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.,命题的充要关系的判断方法,(1),定义法：直接判断若,p,则,q,、若,q,则,p,的真假,.,(2),等价法：即利用,的等价关系，对,于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法,.,(3),利用集合间的包含关系判断,:,若,A,B,则,A,是,B,的,充分条件或,B,是,A,的必要条件,;,若,A,=,B,则,A,是,B,的充要,条件,.,1.,否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，,而命题的否定是只否定命题的结论,.,要注意区别,.,2.,判断,p,与,q,之间的关系时,要注意,p,与,q,之间关系的方,向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆,.,失误与防范,一、选择题,1.,（,2009,重庆文，,2,）,命题,“,若一个数是负数，则,它的平方是正数,”,的逆命题是 （）,A.,“,若一个数是负数，则它的平方不是正数,”,B.,“,若一个数的平方是正数，则它是负数,”,C.,“,若一个数不是负数，则它的平方不是正数,”,D.,“,若一个数的平方不是正数，则它不是负数,”,解析,原命题的逆命题,:,若一个数的平方是正数，,则它是负数,.,B,定时检测,2.,（,2009,浙江理，,2,）,已知,a,b,是实数，则,“,a,0,且,b,0,”,是,“,a,+,b,0,且,ab,0,”,的 （）,A.,充分而不必要条件,B.,必要而不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,当,a,0,且,b,0,时，一定有,a,+,b,0,且,ab,0.,反之，,当,a,+,b,0,且,ab,0,时，一定有,a,0,b,0.,故,“,a,0,且,b,0,”,是,“,a,+,b,0,且,ab,0,”,的充要条件,.,C,3.,（,2008,广东文，,8,）,命题,“,若函数,f,(,x,)=,log,a,x,(,a,0,a,1),在其定义域内是减函数，则,log,a,20,a,1),在其定,义域内不是减函数,B.,若,log,a,20,a,1),在其定,义域内不是减函数,C.,若,log,a,20,，则函数,f,(,x,)=,log,a,x,(,a,0,a,1),在其定,义域内是减函数,D.,若,log,a,20,a,1),在其定义,域内是减函数,解析,由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命,题为：若,log,a,20,，则函数,f,（,x,）,=,log,a,x,(,a,0,a,1),在其定义域内不是减函数,.,答案,A,4.,已知,A,=,x,|,x,-1|1,x,R,B,=,x,|log,2,x,1,x,R,则,“,x,A,”,是,“,x,B,”,的 （）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,A,=,x,|,x,2,或,x,0,，,B,=,x,|,x,2,，,x,A,x,B,，但,x,B,x,A,.,B,5.,集合,A,=,x,|,x,|4,x,R,B,=,x,|,x,5,”,的 （）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,A,=,x,|-4,x,4,若,A,B,，则,a,4,a,4,a,5,但,a,5,a,4.,故,“,A,B,”,是,“,a,5,”,的必要不充分条件,.,B,6.,（,2009,北京文，,6,）,的,（）,A.,充分而不必要条件,B.,必要而不充分条件,C.,充分必要条件,D.,既不充分也不必要条件,解析,这说明 外,还可以取其他的值,.,所以 的,充分而不必要条件,.,A,二、填空题,7.,若,“,x,2,5,或,x,x,|,x,4,”,是假命题，则,x,的取值范围是,_.,解析,x,2,，,5,且,x,x,|,x,4,是真命题,.,由,得,1,x,0,若 的必要不充分条件,求实数,m,的取值范围,.,解,p,：,x,-2,10,，,q,：,x,1-,m,1+,m,m,0,的必要不充分条件，,p,q,且,q p,.,-2,，,10,1-,m,，,1+,m,.,11.,已知,p,:|,x,-3|2,，,q,:(,x,-,m,+1)(,x,-,m,-1)0,，若,的充分而不必要条件,求实数,m,的取值范围,.,解,由题意,p,:-2,x,-32,1,x,5.,:,x,5.,q,:,m,-1,x,m,+1,:,x,m,+1.,又 的充分而不必要条件，,12.,求关于,x,的方程,ax,2,+2,x,+1=0,至少有一个负实根的充要,条件,.,解,（,1,）,a,=0,适合,.,（,2,）,a,0,时，显然方程没有零根,.,若方程有两异号实根，则,a,0,；,若方程有两个负的实根，则,必有 解得,0,a,1.,综上知，若方程至少有一个负实根，则,a,1.,反之，若,a,1,则方程至少有一个负的实根，,因此，关于,x,的方程,ax,2,+2,x,+1=0,至少有一负的实根的,充要条件是,a,1.,返回,