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第,15,课 函数的应用,1,函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用,2,利用函数知识解应用题的一般步骤：,(1),设定实际问题中的变量；,(2),建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；,(3),确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；,(4),利用函数的性质解决问题；,(5),写出答案,3,利用函数并与方程,(,组,),、不等式,(,组,),联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题,要点梳理,1,理解实际问题与函数的关系，建立函数模型,函数是刻画现实世界运动变化和变量相依关系的重要数学模型之一，它有着广泛的应用，国情国策、生产生活、环保生态、商场经营、经济核算、规划策略等许多问题都与函数有关用函数的知识解决实际问题要注意对问题的审读和理解，恰当地分析、整合信息，将已知条件转化为相应的数学关系式用函数的知识解决实际问题的关键是将实际问题中的数量关系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，进而运用函数的有关性质，求出问题的答案,难点正本 疑点清源,2,认真审题，提高分析问题、解决问题的能力,用函数的知识解决实际问题，除了可能涉及函数的有关知识外，有时还会涉及方程、不等式、几何等知识，这些知识相互联系融为一体，需要一定的阅读理解能力、收集处理信息的能力，以及观察、归纳、探索、发现、推理从而解决问题的能力,1,(2011,南充,),小明乘车从南充到成都，行车的平均速度,v,(km/h),和行车时间,t,(h),之间的函数图象是,(,),解析：设南充到成都的路程为,s,(km),，则,v,(,s,0),函数图象是双曲线分布于第一象限的一个分支,基础自测,B,2,(2011,鸡西,),若,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，,C,(,x,3,，,y,3,),是反比例函数,y,图象上的点，且,x,1,x,2,0,x,3,，则,y,1,、,y,2,、,y,3,的大小关系正确的是,(,),A,y,3,y,1,y,2,B,y,1,y,2,y,3,C,y,2,y,1,y,3,D,y,3,y,2,y,1,解析：因为,x,3,0,，则,y,3,0,，又,x,1,x,2,0,，则,y,2,y,1,0,y,1,y,2,.,A,11,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,12,、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。,13,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。,2024/11/12,2024/11/12,12 November 2024,14,、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。,15,、,纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,16,、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。,17,、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。,十一月 24,2024/11/12,2024/11/12,2024/11/12,11/12/2024,18,、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。,2024/11/12,2024/11/12,3,A,、,B,、,C,三种物质的质量与体积的关系如图所示,(,表示物质的密度,),，由图可知,(,),A,A,B,C,，且,C,水,B,A,B,C,，且,A,水,C,A,B,水,D,A,B,水,解析：密度,，由图象可知,A,B,C,，,又,A,，这里,0.5,A,1000,，即,A,水所以应选,B.,B,4,(2011,河北,),一小球被抛出后，距离地面的高度,h,(,米,),和飞行时间,t,(,秒,),满足下面的函数关系式：,h,5(,t,1)2,6,，则小球距离地面的最大高度是,(,),A,1,米,B,5,米,C,6,米,D,7,米,解析：由关系式,h,5(,t,1),2,6,得，当,t,1,时，,h,有最大值,6.,C,5,(2010,荷泽,),某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压,P,(kPa),是气球体积,V,的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于,120 kPa,时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该,(,),A,不小于,m,3,B,小于,m,3,C,不小于,m,3,D,小于,m,3,解析：设,P,，则,k,601.6,96,，,P,.,当,P,120,时，,V,，,当,P,120,时，,V,.,C,题型分类 深度剖析,题型一一次函数相关应用题,【,例,1】,某公司装修需用,A,型板材,240,块、,B,型板材,180,块，,A,型板材规格是,60 cm30 cm,，,B,型板材规格是,40 cm30 cm.,现只能购得规格是,150 cm30 cm,的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出,A,型、,B,型板材，共有下列三种裁法：,(,图是裁法一的裁剪示意图,),设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁,x,张、按裁法二裁,y,张、按裁法三裁,z,张，且所裁出的,A,、,B,两种型号的板材刚好够用,(1),上表中，,m,_,，,n,_,；,(2),分别求出,y,与,x,和,z,与,x,的函数关系式；,解：由题意得,x,2,y,240,2,x,3,z,180,，,y,120,x,，,z,60,x,.,0,3,(3),若用,Q,表示所购标准板材的张数，求,Q,与,x,的函数关系式，并指出当,x,取何值时,Q,最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？,解：由题意得,Q,x,y,z,x,180,x,.,解得,x,90.(,注：事实上,0,x,90,且,x,是,6,的整数倍,).,由一次函数的性质可知，当,x,90,时，,Q,最小，此时按三,种裁法分别裁,90,张、,75,张、,0,张,120,x,0,，,60,x,0,，,探究提高,审清题意，找到等量关系，可写出两个函数关系式，然后求出用含,x,的代数式表示,Q,，利用,x,的取值范围确定,Q,的最小值,知能迁移,1,(2010,吉林,),一列长为,120,米的火车匀速行驶，经过一条长为,160,米的隧道，从车头驶入隧道入口到车尾离开隧道出口共用,14,秒，设车头驶入隧道入口,x,秒时，火车在隧道内的长度为,y,米,(1),求火车行驶的速度；,(2),当,0,x,14,时，求,y,与,x,的函数,关系式；,(3),在给出的平面直角坐标系中画,出,y,与,x,的函数图象,解：,(1),解法一：设火车行驶的速度为,v,米,/,秒,根据题意，得,14,v,120,160,，解得,v,20.,解法二：,(120,160)14,20.,答：火车行驶的速度为,20,米,/,秒,(2),当,0,x,6,，,y,20,x,；,当,6,x,8,时，,y,120,；,解法一：当,8,x,14,时，,y,120,(20,x,160),20,x,280,；,解法二：当,8,x,14,时，,y,20(14,x,),20,x,280.,(3),题型二反比例函数相关应用题,【,例,2】,水产公司有一种海产品共,2104,千克，为寻求合适的销售价格，进行了,8,天试销，试销情况如下：,观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量,y,(,千克,),与销售价格,x,(,元,/,千克,),之间的关系，现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量,y,(,千克,),与销售价格,x,(,元,/,千克,),之间都满足这一关系,(1),写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；,(2),在试销,8,天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为,150,元,/,千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计要用多少天可以全部售出？,解：,(1),函数解析式为,y,，表格空白处：,300,50.,(2)2014,(30,40,48,50,60,80,96,100),1600,，,即,8,天试销后，余下的海产品还有,1600,千克,当,x,150,时，,80.160080,20(,天,),，,所以余下的这些海产品预计再用,20,天可以全部售出,探究提高,问题中已经给出了基本数量关系，由此可确定函数关系式,利用函数关系解题时，要理解已知数的意义，弄清已知数对应的是自变量还是函数值，正确代入,知能迁移,2,人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中的司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为,50 km/h,时，视野为,80,度如果视野,f,(,度,),是车速,v,(km/h),的反比例函数，求,f,、,v,之间的关系式，并计算当车速为,100 km/h,时视野的度数,解：,f,、,v,之间的关系式,f,.,当,v,100,时，,f,40.,答：当车速为,100 km/h,时，视野的度数为,40,度,题型三二次函数相关应用题,【,例,3】,如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为,6,米，,底部宽度,OM,为,12,米现以,O,点为原点，,OM,所在直线为,x,轴建,立直角坐标系,(1),直接写出点,M,及抛物线顶点,P,的坐标；,(2),求这条抛物线的解析式；,(3),若要搭建一个矩形“支撑架”,AD,DC,CB,，使,C,、,D,点在抛物线上，,A,、,B,点在地面,OM,上，则这,个“支撑架”总长的最大值是多少？,解：,(1),M,点的坐标为,(12,0),，顶点,P,的坐标为,(6,6),(2),设抛物线为,y,a,(,x,6),2,6,，,抛物线,y,a,(,x,6),2,6,经过点,(0,0),0,a,(0,6),2,6,36,a,6,，,a,.,抛物线解析式为：,y,(,x,6),2,6,x,2,2,x,.,(3),设,A,(,m,0),，则,B,(12,m,0),，,C,(12,m,m,2,2,m,),，,D,(,m,m,2,2,m,),“支撑架”总长,AD,DC,CB,(12,2,m,),m,2,2,m,12,(,m,3),2,15.,a,0.,当,m,3,时，,AD,DC,CB,有最大值为,15,米,探究提高,根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题建立平面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题,知能迁移,3,如图，足球场上守门员在,O,处开出一高球，球从离地面,1,米的,A,处飞出,(,A,在,y,轴上,),，运动员乙在距,O,点,6,米的,B,处发现球在自己头的正上方达到最高点,M,，距地面约,4,米高，球落地后又一次弹起据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半,(1),求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；,(2),足球第一次落地点,C,距守门员多少米？,(,取,4,7),(3),运动员乙要抢到第二个,落点,D,，他应再向前跑多,少米？,(,取,2,5),解：,(1),设第一次落地时，抛物线的表达式为,y,a,(,x,6),2,4,，,由已知得，,x,0,时，,y,1,，,1,36,a,4,，,a,.,抛物线的表达式为,y,(,x,6),2,4.,(2),令,y,0,，则,(,x,6),2,4,0.,(,x,6),2,48,，,x,1,4,613,，,x,2,4,60(,舍去,),，,足球第一次落地距守门员约,13,米,(3),OC,13,，,C,点坐标为,(13,0),设球落地后又一次弹起的抛物线的表达式为,y,(,x,k,),2,2.,0,(13,k,),2,2,，,解之得,k,1,13,2 18,，,k,2,13,2 0,，,x,4,时，,g,260,，,5,个月后，能收回投资,a,b,2,4,a,2,b,4,a,0,b,2,剖析,这种解法中没有认真读题、审题，忽略题中“累计”二字，误以为,x,2,时,y,4,，而应该是“,x,2,时，,y,2,4,6”,，这个理解的失
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