高等数学__级数的概念和敛散性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,微分方程,*,高,等,数,学,电,子,教,案,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,微分方程,*,第八章,无穷,级数,四川职业技术学院数学教研室,课题二十三,级数的概念和敛散性,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,微分方程,*,返回,【,重、难点,】,重点,：级数的相关概念，由数列知识引出。,难点,：正确判断级数的敛散性，由实例讲解方法。,【,授课时数,】,总时数,：,4,学时,.,【,学习目标,】,1,、知道级数的相关概念和性质；,2,、会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；,3,、会判断交错级数和一般级数的敛散性。,1.,计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、问题的提出,1.,级数的定义,一般项,3.,级数的分类,2.,级数的部分和,记作,二、级数的概念,上述数列中,(1),、,(2),是,数项级数，,(3),、,(4),是函数项级数,.,4.,级数的收敛与发散,解,例,1,判别级数,的敛散性,.,解,例,2,判别无穷级数,的敛散性,.,解,例,3,讨论等比级数,的敛散性,.,收敛,发散,发散,发散,综上,知,等比级数（几何级数）,注意：,(,可以用,(2),来快速判断级数的发散,.),三、基本性质,结论,:,级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散,结论,:,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,.,性不变,.,1.,定义,:,级数称为正项级数,.,2.,比较审敛法,四、正项级数及其审敛法,使用比较审敛法常用的三个结论,:,解,例,4,判断下列级数的敛散性,:,解,例,4,判断下列级数的敛散性,:,小结,1.,级数的概念,2.,级数的部分和,3.,级数的收敛与发散,4.,级数的基本性质,5.,正项级数的概念,6.,正项级数的比较审敛法,练 习 题,3.,比较审敛法的极限形式,设,=,1,n,n,u,与,=,1,n,n,v,都是正项级数,如果,则,(1),当,时,二级数有相同的敛散性,;,(2),当,时，若,收敛,则,收敛,;,(3),当,时,若,=,1,n,n,v,发散,则,=,1,n,n,u,发散,.,4.,极限审敛法：,解,原级数发散.,例,5,判断下列级数的敛散性,:,原级数收敛.,例,5,判断下列级数的敛散性,:,解,5.,比值审敛法,(,达朗贝尔,D,Alembert,判别法,),：,比值审敛法的优点,:,不必找参考级数,.,两点注意,:,解,例,6,判断下列级数的敛散性,:,解,例,6,判断下列级数的敛散性,:,(,比值审敛法失效,改用比较审敛法,),例,6,判断下列级数的敛散性,:,解,例,6,判断下列级数的敛散性,:,解,故该,级数收敛.,6.,根值审敛法,(,柯西判别法,),：,定义,:,正、负项相间的级数称为交错级数,.,五、交错级数及其审敛法,解,故,原级数收敛.,例,7,判断下列级数的敛散性,:,解,故,原级数收敛.,例,7,判断下列级数的敛散性,:,定义,1,:,正、负项任意出现的级数称为任意项级数,.,定理的作用：,任意项级数,正项级数,六、绝对收敛与条件收敛,解,故由定理知原级数绝对收敛,，即原级数收敛,.,例,8,判断下列级数的敛散性,:,解,故由定理知原级数绝对收敛,，即原级数收敛,.,例,8,判断下列级数的敛散性,:,解,级数，,故原级数,条件,收敛.,例,8,判断下列级数的敛散性,:,正 项 级 数,任意项级数,审,敛,法,1.,2.,4.,比较法,5.,比值法,6.,根值法,4.,绝对收敛,5.,交错级数,(,莱布尼茨定理,),3.,按基本性质,;,小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛,.,反之不成立,.,例如：,收敛,发散,.,练 习 题,发散,收敛,通过本课题学习，学生应该达到：,1,会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数的敛散性；,2,会判断交错级数和一般级数的敛散性。,（一）,P120,习题,8.1,；,（二）,P122,习题,8.2.,【,授课小结,】,【,课后练习,】,