理学高数上册

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量,.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,设,则,如果,（可微）,由此可得换元法定理,第一类换元公式,（,凑微分法,）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同,.,定理,1,例,1,求,解,（一）,解,（二）,解,（三）,例,2,求,解,一般地,例,3,求,解,例,4,求,解,例,5,求,解,例,6,求,解,例,7,求,解,例,8,求,解,例,9,求,原式,例,10,求,解,例,11,求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分,.,例,12,求,解,例,13,求,解,（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解,（二）,类似地可推出,解,例,14,设 求,.,令,例,15,求,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法,.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,证,设 为 的原函数,令,则,则有换元公式,定理,2,第二类积分换元公式,例,16,求,解,令,例,17,求,解,令,例,18,求,解,令,说明,(1),以上几例所使用的均为,三角代换,.,三角代换的,目的,是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定,.,说明,(2),例,19,求,（三角代换很繁琐）,令,解,例,20,求,解,令,说明,(3),当分母的阶较高时,可采用,倒代换,例,21,求,令,解,例,22,求,解,令,（分母的阶较高）,说明,(4),当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 （其中 为各根指数的,最小公倍数,）,例,23,求,解,令,基本积分表,三、小结,两类积分换元法：,（一）,凑微分,（二）,三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表,(2),