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2012 届高考（文科）数学一轮复习课时作业44 双曲线一、选择题1 2011 安徽卷 双曲线2x2 y2 8 的实轴长是 ()A2 B 2 2 C 4 D 4 2解析： 双曲线方程可化为x2y2 1，所以a2a 2，所以 2 4. 故实轴长为 4. 4，得48a答案： C2(2010 年课标全国高考 ) 已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB的中点为 N( 12， 15) ，则 E的方程为 ()2222xyxyA. 3 6 1B. 4 5 1C.x2y2x2y26 1D. 1354x2y20 15解析： 由 c 3，设双曲线方程为a2 9 a2 1，kAB3 12 1，设 A( x1， y1) ，B( x2， y2) ，x12y12则 a2 9 a2 1，22x2y2a2 9a2 1，x x2x x2y y2y y21111 0.，得a29 a2又 N( 12， 15) 为 AB中点，x1x2 24， y1 y2 30.x1 x2y1 y2a29 a2.y1y2a2 1.2x1 x25a2x2y2a4. 双曲线方程为 1.45答案： Bx2y23(2010 年天津高考 ) 已知双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点在抛物线y2 24x 的准线上，则双曲线的方程为()x2y2x2y2A. 36 1081B. 9 27 1C. x2 y2 1D. x2 y2 110836279x2y2bb解析： 双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 的渐近线方程为y ax， a 3. 用心爱心专心- 1 -抛物线 y2 24x 的准线方程为x 6， c 6. 又 c2a2 b2. 由得 a 3， b3 3.2 2 a29， b2 27. 双曲线方程为 x y 1. 9 27答案： Bx2y24已知双曲线 a2b2 1( a0，b0) 的焦点为 F1、F2，M为双曲线上一点，以F1F2 为直径的圆与双曲线的一个交点为，且 tan 1 2 1，则双曲线的离心率为()MMFF2A. 2B.3C2D.5答案： D1、 2 分别为双曲线 x225(2010 年浙江高考 ) 设2y2 1(0， 0) 的左、右焦点若在双FFabab曲线右支上存在点 P，满足 | PF2| | F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0解析： 由已知： |2| |1 2| 2 ， 2 到直线1的距离为2 ，易求 |1| 4 .PFF FcFPFaPFb由双曲线的定义 | PF1| |PF2| 2a， 4b 2c2a，即 c2b a.又 c2a2 b2，22b4 a b 2b a，整理得 a3.4双曲线的渐近线方程为y 3x.即 4x3y0.答案： Cx2y26(2011 年浙江省温州市八校联考) 已知点 P 是双曲线 a2b21( a0， b0) 右支上一点，用心爱心专心- 2 -1F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点， I 为 PF1F2 的内心， 若 S IPF1 S IPF2 2S IF 1F2 成立，则双曲线的离心率为()A45B.25C2D. 3解析： 由 1 21 1 2 得， |1| |2| 12 ，P是右支上的点，所以S IPFSIPF2SIF FPFPF2c1| PF1| | PF2| 2a，即有 22c 2a， e 2，选 C.答案： C二、填空题2x2 y27已知抛物线 y 2px( p0) 与双曲线 a2b2 1( a0， b0) 有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且AF x 轴，则双曲线的离心率为 _2p解析： 抛物线 y 2px( p0) 的焦点F 的坐标是 ( 2， 0) ，抛物线与双曲线有相同的焦点F，p2即： 2c，所以 y4cx，焦点为 ( c, 0) ，准线为 x c.AF x 轴，那么点 A 的横坐标为 c，代入 y2 4cx 得纵坐标为2 c，又点 A( c，2c) 在双c24222242c曲线上，所以 a2 b2 1，又 b c a ，代入前式并整理得e 6e 1 0，解得 e1 2.答案：21x2y28(2010年江苏高考 ) 在平面直角坐标系 xOy中，双曲线4 12 1 上一点 M的横坐标为3，则点 M到此双曲线的右焦点的距离为_解析： 由题意点的横坐标可求得为(3 ， 15) ，双曲线的右焦点的坐标为2(4,0)MMF由两点间的距离公式得F2Mx2x12 y2 y122152 4.答案： 49双曲线 x2 y2 1上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，169则 P 点到左焦点的距离为_解析： 由 a4， b 3，得 c 5，设左焦点为 F ，右焦点为 F ，12用心爱心专心- 3 -1则| PF2| 2( ac c a) c 5，由双曲线的定义得| PF1| 2a | PF2| 8 5 13.答案： 13三、解答题10已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上， 离心率为2，且过点 (4 ，10) 点M(3 ， m) 在双曲线上(1) 求双曲线方程； (2) 求证： MF1 MF2 0；(3) 求 F1MF2 面积解： (1) e2，可设双曲线方程为x2 y2 .过点 (4 ，10) ， 16 10 ，即 6.双曲线方程为x2 y2 6.(2) 证明：证法一：由 (1) 可知，双曲线中 a b 6，c 2 3，F ( 2 3， 0) ， F (23， 0) ，121m2mkMF3 2， kMF，33 2 32212mmkMFkMF 912 3 .点 (3 ， m) 在双曲线上，229 m 6， m 3，故 kMF1 kMF2 1， MF1 MF2.MF1 MF2 0.3 3， m) ，证法二： MF ( 323， m) ， MF (212 23) (3 23)212MF MF (3 m 32，mM点在双曲线上，229 m 6，即 m 30，12MF MF 0.(3) F1MF2的底 | F1F2| 43，由 (2)知 m3. F MF的高 h| m| 3， SF MF 6.121211已知双曲线x2y2a0，0) 的离心率e23l过 (0) ， (0 ，b) 两2 2 1(，直线abb3A a,B用心爱心专心- 4 -3点，原点 O到直线 l 的距离是2 .(1) 求双曲线的方程；(2) 过点 B 作直线 m交双曲线于 M、 N两点，若 OMON 23，求直线 m的方程xy3ab解：(1) 依题意，l 方程 a b 1，即 bx ayab 0，由原点 O到 l 的距离为2 ，得a2 b2ab3 c 2 ，c23又 e a3，b 1， a 3.x22故所求双曲线方程为3 y 1.(2) 显然直线 m不与 x 轴垂直，设 m方程为 y kx 1，则点 M、 N坐标 ( x1， y1) ，( x2， y2)2x2是方程组 ykx 1， y 1 的解，3消去 y，得 (1 3k2) x2 6kx 6 0. 依题意， 13k20，由根与系数关系，6k6知 x1x2 3k2 1， x1x2 3k2 1 OM ON ( x1， y1) (x2， y2) x1x2 y1y2 x1x2 ( kx1 1)( kx2 1) (1 k2) x1x2 k( x1 x2) 1 k26k2 3k2 1 3k2 1 16 3k21 1.又 OM ON 23，61 2 1 23， k ，3k 121当 k 2时，方程有两个不相等的实数根，11方程为 y2x 1 或 y 2x 1.用心爱心专心- 5 -x2y212 (2011 年重庆八中第四次月考) 双曲线 a2 b2 1( a0， b0) 的左、右焦点分别为F1、AB 2， 为坐标原点， 点在双曲线的右支上， 点在双曲线左准线上，2 ， 2 .F OF OAB OFOA OA OB(1) 求双曲线的离心率 e；(2) 若此双曲线过 C(2 ， 3) ，求双曲线的方程；(3) 在 (2) 的条件下， D1、D2 分别是双曲线的虚轴端点( D2 在 y 轴正半轴上 ) ，过 D1 的直线 l交双曲线 M、 N，D2M D2N，求直线 l 的方程。解： (1)2 ， ? 四边形2是平行四边形，F OABF ABO OA( OF2 OB) 0 即 OA BF2 0，OA BF2，平行四边形F2ABO是菱形如图，则 r 2 d1 c， r 1 2a r 2 2a c，由双曲线定义得r 1 d1e? 2a c ce? e2 e2 0，e 2( e 1 舍去 )(2) 由 c 2? b2 c2 a2 3a2， ax2y2双曲线方程为a2 3a2 1，把点 C(2 ，3) 代入有得 a2 3，用心爱心专心- 6 -x3y2双曲线方程3 9 1.(3) 1(0 ， 3) ， 2(0,3)，设l的方程为ykx 3， (1，1) ， (2，2)DDM xyN xy则由 y kx 3,32222x y 9?(3 k ) x 6kx 180，因 l 与双曲线有两个交点，3 k20 6 18k x1x2 3 k2，x1x2 3 k2， 36k2418(3 k2)0 18y1y2 k( x1x2) 6 3 k2，y1 y2 k2x1x2 3k( x1 x2 ) 9 9D2M ( x1， y13) ， D2N( x2， y2 3) ，DM DN? x x y y 3( y y ) 9 02 2121211 18 1822 9 32 9 0?k 5，3 k3 k满足0， k5故所求直线l 方程为 y5x 3 或 y5x 3用心爱心专心- 7 -
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