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单击此处编辑母版文本样式,走向高考,高考总复习,数学,选修,第,13,章 极限,首页,上页,下页,末页,知识梳理,规律方法提炼,课后强化作业,课堂题型设计,命题预测：极限、函数的连续性等知识点与高等数学之间有着重要的衔接关系，是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的质的转变，在重点考查思维方法的高考命题中是最好的命题素材之一,数学归纳法是高考必考内容之一因为它蕴含着数学创造的基本方法，预计在今年的高考命题中将会继续得到高度重视，所以考生必须掌握这种证明方法,1,对数学归纳法的考查将会时隐时现，题型多以解答题为主，且是以解答题为典型的一题多解题，即除了用数学归纳法之外，也可以用其它方法高考中对归纳法的考查多以数列知识为载体，与函数、方程、不等式相结合，运用不完全归纳通过观察、分析、猜测，从特例中得出一般结论，然后用数学归纳法进行证明,2,对极限的考查仍以考查基本概念、基本计算为主题型是以选择题、填空题为主，对数列的极限也可能作为一个设问步骤结合数列问题综合考查，题目难度一般为中档,3,近年的高考试题中出现了考查求函数的极限及判断函数的连续性，但题目不难，希望同学们一定注重课本基础知识，以中低档题为主，以保住这部分分数,备考指南：,1,准确把握考纲要求、突出考点重点,在复习中坚持以考纲要求为标准，对极限的概念只要理解定义即可重在灵活应用极限的运算法则，掌握常见的几种类型数列的极限和函数极限的求法，要求熟练准确地求一些数列的极限或函数的极限,2,重视数学思想方法、提高数学能力,应用数学归纳法解决问题时，要注意结合观察、归纳、猜想的方法，体会命题发现的过程、方法，要理解数学归纳法原理及证题的步骤，特别是从假设,n,k,时命题成立，到证明,n,k,1,时命题也成立的方法与技能,对极限的复习要注意从研究对象的变化趋势来理解，体会极限的概念、思想方法，体会从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的极限思想方法,3,训练要有针对性、注意控制难度,对本章的练习不要搞得过深过难，重在基本方法，题目的难度以低档为主，对涉及数学归纳法应用的题，也不超过中档题目，并且要注意与前面知识的联系,.,基础知识,一、数学归纳法,1,归纳法：,不完全归纳法是根据事物的,得出一般结论的推理方法不完全归纳法所得到的命题,保证它成立，所以这种方法,作为一种论证方法,部分,(,而不是全部,),特例,并不,能,并不能,完全归纳法是一种在研究了事物的,所有,(,有限种,),特殊情况后,得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的,与完全归纳法一样，用数学归纳法推出的结论是可靠的数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用：用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论,2,数学归纳法证明的步骤是：,(1),验证当,n,取第,值,n,0,时结论成立；,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,，且,),时结论成立证明,n,时结论也成立,一个,k,n,0,k,1,3,使用数学归纳法应注意的问题：,(1),这两个步骤缺一不可，第一步证,P,(,n,0,),成立是推理的基础，第二步由,P,(,k,),P,(,k,1),成立是推理的依据,(,由,n,0,成立，推出,n,0,1,成立；由,n,0,1,成立，又可推出,n,0,2,成立，,如此递推，可知命题对一切自然数,n,(,n,n,0,),均成立,),(2),n,0,是命题成立的起始值，不一定是自然数的起始值,1.,(3),由,k,k,1,必须使用归纳假设，否则不是数学归纳法,二、归纳、猜想与证明,从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明,(,或否定,),这种猜想，这个过程叫做,“,归纳,猜想,证明,”,它是一个完整的思维过程，是人们从事科学研究认识发现规律的有效途径，也是用来培养创新思维能力的有效办法因此，它便成了高考命题的热点之一,易错知识,一、,n,0,的值弄错,1,用数学归纳法证明,“,对于足够大的自然数,n,，总有,2,n,n,2,”,，则验证不等式所取的第一个值，其最小应当是,_,答案：,5,二、用数学归纳法证题时，在从,n,k,到,n,k,1,时增加的项数为多少项方面产生混淆,2,已知,f,(,n,),1,(,n,N,*,),用数学归纳法证明不等式,f,(2,n,),时，,f,(2,k,1,),比,f,(2,k,),多的项数是,_,答案：,2,k,三、用数学归纳法证明时，没有运用上,n,k,的假设而失误,3,用数学归纳法证明：,1,4,7,(3,n,2),n,(3,n,1),证明：,(1),当,n,1,时，左边,1,，右边,1,，当,n,1,时命题成立,(2),假设当,n,k,时命题成立，即,1,4,7,(3,k,2),k,(3,k,1),则当,n,k,1,时，需证,1,4,7,(3,k,2),3(,k,1),2,(,k,1),(3,k,2)(*),，由于等式左端是一个以,1,为首项，公差为,3,，项数为,k,1,的等差数列的和，其和为,(,k,1)(1,3,k,1),(,k,1)(3,k,2),(*),式成立，即,n,k,1,时，命题成立，根据,(1)(2),可知，对一切,n,N,*,，命题成立,上述证明过程,_(,填,“,正确或不正确,”,),，理由是,_,答案：,不正确没有运用上,n,k,的假设，故不符合数学归纳法,回归教材,1,在应用数学归纳法证明凸,n,边形的对角线为,n,(,n,3),条时，第一步检验,n,等于,(,),A,1,B,2,C,3,D,4,解析：,n,的最小取值为,3,，故第一步检验,n,等于,3.,答案：,C,2,用数学归纳法证明：,“,1,a,a,2,a,n,1,(,a,1),”,在验证,n,1,时，左端计算所得的项为,(,),A,1 B,1,a,C,1,a,a,2,D,1,a,a,2,a,3,解析：,由题意可知等式左端共有,n,2,项,当,n,1,时，,左端有,3,项为,1,a,a,2,.,答案：,C,3,用数学归纳法证明等式,(,n,1)(,n,2),(,n,n,),2,n,1,3,(2,n,1)(,n,N,*,),，从,“,k,到,k,1,”,左端需增乘的代数式为,(,),A,2,k,1 B,2(2,k,1),C.D.,解析：,n,k,1,时，左端为,(,k,2)(,k,3),(,k,1),(,k,1),(,k,1),k,(2,k,2),(,k,1)(,k,2),(,k,k,),(2,k,1),2,，应增乘,2(2,k,1),答案：,B,4.1,2,2,2,3,2,4,2,(,1),n,1,n,2,，当,n,分别取,1,2,3,4,时的值依次为,_,，所以猜想原式,_.,解析：,n,1,2,3,4,的值为,1,，,3,6,，,10,可以猜想,a,n,(,1),n,1,.,答案：,1,，,3,6,，,10,(,1),n,1,5,如图，这是一个正六边形的序列：,(1),(2),(3),则第,n,个图形的边数为,_,解析：,第,(1),图共,6,条边，第,(2),图共,11,条边，第,(3),图共,16,条边，,，其边数构成等差数列则第,n,个图的边数为,a,n,6,(,n,1),5,5,n,1.,答案：,5,n,1,【,例,1,】,(2009,烟台,),用数学归纳法证明：,(1,2,2,2,3,2,),(3,4,2,4,5,2,),(2,n,1)(2,n,),2,2,n,(2,n,1),2,n,(,n,1)(4,n,3),分析,由于这一等式是证明通项公式为,a,n,(2,n,1)(2,n,),2,2,n,(2,n,1),2,的数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,(,n,1)(4,n,3),，所以,S,k,1,S,k,2(,k,1),1,2(,k,1),2,2(,k,1),2(,k,1),1,2,是应用数学归纳法证明这一等式的关键,证明,(1),当,n,1,时，左式,1,2,2,2,3,2,14,，右式,1,2,7,14.,等式成立；,(2),假设当,n,k,时等式成立，,(1,2,2,2,3,2,),(3,4,2,4,5,2,),(2,k,1)(2,k,),2,2,k,(2,k,1),2,k,(,k,1)(4,k,3),，则那么,n,k,1,时，有,(1,2,2,2,3,2,),(3,4,2,4,5,2,),(2,k,1)(2,k,),2,2,k,(2,k,1),2,(2,k,1)(2,k,2),2,(2,k,2)(2,k,3),2,k,(,k,1)(4,k,3),2(,k,1)4,k,2,12,k,9,(4,k,2,6,k,2),k,(,k,1)(4,k,3),2(,k,1)(6,k,7),(,k,1)(4,k,2,15,k,14),(,k,1)(,k,2),(4,k,7),(,k,1)(,k,1),14(,k,1),3,说明当,n,k,1,时，等式成立,由,(1)(2),可知等式对任何自然数,n,都成立,总结评述,用数学归纳法证题的关键在第二步，而第二步的难点在于寻求命题为,n,k,时和,n,k,1,时之间的联系,分析,由于是关于,n,的不等式且应用重要不等式、单调性、放缩等方法难以证出，故考虑应用数学归纳法,拓展提升,(1),用数学归纳法证明与正整数有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往先对,n,取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个,n,值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明,(2),运用数学归纳法证明不等式的基本思路为：,假设,n,k,时不等式成立，就是,A,B,；,如果,n,k,1,时不等式也成立，形式是,A,B,；,为了要证明式，可从式再推出另一个不等式,A,B,；,使得,A,A,(,或,B,B,),于是只要能证出,B,B,(,或,A,A,),，则根据不等式的传递性可以得到,A,A,B,B,，即,A,B,(,或,A,A,B,B,，即,A,B,),以上推证的关键是由式推出式至于在证明中究竟是使式中的,A,A,为好，还是,B,B,为好，要根据实际条件来决定,只需证明 ，,只要证,4,k,2,8,k,44,k,2,8,k,3,，此式显然成立,当,n,k,1,时，不等式成立，,综上所述，对一切大于,1,的自然数，原不等式成立,.,【,例,3,】,已知等差数列,a,n,的公差,d,大于,0,，且,a,2,、,a,3,是方程,x,2,12,x,27,0,的两根，数列,b,n,的前,n,项和为,T,n,，且,T,n,1,b,n,.,(1),求数列,a,n,、,b,n,的通项公式；,(2),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，试比较 与,S,n,1,的大小，并说明理由,分析,(1),由,a,2,、,a,3,是方程的根，求出,a,n,，再由,T,n,1,b,n,，求出,b,n,.,(2),先猜想与,S,n,1,的大小关系，再用数学归纳法证明,解答,(1),由已知得 ，,又,a,n,的公差大于,0,，,a,5,a,2,，,a,2,3,，,a,5,9.,探究拓展,(1),归纳,猜想,证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律,(2),数列是定义在,N,*,上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决,(2009,陕西,),已知数列,x,n,满足,x,1,，,x,n,1,，,n,N,*,.,(1),猜想数列,x,2,n,的单调性，并证明你的结论；,(2),证明：,|,x,n,1,x,n,|.,解析：,(1),由,.,由,x,2,x,4,x,6,猜想：数列,x,2,n,是递减数列,下面用数学归纳法证明：,当,n,1,时，已证命题成立,假设当,n,k,时命题成立，即,x,2,k
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