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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,讲 数学归纳法,1,运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是,_,_,，第二步是,_,，两步缺一不可,2.,用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中,包括,_,_,归纳奠基,(或递推根底),归纳递推,(,或归纳假设,),恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问,题等,1,在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验,证,(,),C,A,n,1,时成立,C,n,3,时成立,B,n,2,时成立,D,n,4,时成立,解析：,多边形至少有三边,A,3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，那么凸 n1 边形有对角线数 f(n,1),为,(,),C,A,f,(,n,),n,1,B,f,(,n,),n,C,f,(,n,),n,1 D,f,(,n,),n,2,解析：在 n 个顶点的根底上增加一个顶点那么增加 n1 条对,角线,A,a,1,，,b,3,C,a,1,，,b,2,B,a,1,，,b,1,D,a,2,，,b,3,答案：,D,解析：,令,n,1,2,，得到关于,a,、,b,的方程组，解得即可,1,4,n,2,1,5,考点,1,对数学归纳法的两个步骤的认识,例 1：n 是正偶数，用数学归纳法证明时，假设已假设 n,k(k2 且为偶数)时命题为真，那么还需证明(,),A,n,k,1,时命题成立,C,n,2,k,2,时命题成立,B,n,k,2,时命题成立,D,n,2(,k,2),时命题成立,解题思路：,从数学归纳法的两个步骤切入，,k,的下一个偶数,是,k,2.,解析：,因,n,是正偶数，,故只需证等式对所有偶数都成立，,因 k 的下一个偶数是 k2.应选 B.,用数学归纳法证明时，要注意观察以下,几个方面：,(1),n,的范围以及递推的起点；,(2),观察首末两项的次,数,(,或其他,),，确定,n,k,时命题的形式,f,(,k,),；,(3),从,f,(,k,1),和,f,(,k,),的差异，寻找由,k,到,k,1,递推中，左边要加,(,乘,),上的式子,n,n,24,【,互动探究,】,B,(2),用数学归纳法证明不等式,1,n,1,1,n,2,1 13,的,过程中，由,k,推导到,k,1,时，不等式左边增加的式子是,_.,1,(,2,k,1,)(,2,k,2,),(,k,1,)(,k,1,),，即,2,k,2,k,1,(,2,k,1,)(,2,k,2,),解析：,求,f,(,k,1),f,(,k,),即可当,n,k,时，左边,1 1,k,1,k,2,1,k,k,.,n,k,1,时，左边,1,k,2,1,k,3,1,.,故左边增加的式子是,1,2,k,1,1 1 1,.,考点,2,用数学归纳法证明恒等式命题,例,2,：是否存,在常数,a,、,b,、,c,，使等式,12,2,23,2,n,(,n,n,都成立？证明你的,1),2,n,(,n,1,),(,an,2,bn,c,),对一切正整数,12,结论,(3,k,2,11,k,10),，,(3,k,2,11,k,10),(,k,1)(,k,2),2,(3,k,5)(,k,2),(,k,1)(,k,2),2,下面用数学归纳法证明：,(1),当,n,1,时，由上面可知等式成立,(2),假设,n,k,时等式成立，,即,12,2,23,2,k,(,k,1),2,k,(,k,1,),12,那么 122232k(k1)2(k1)(k2)2,k,(,k,1,),12,k,(,k,1,),12,k,(3,k,5),12(,k,2),3(,k,1),2,11(,k,1),10,2,n,1,(,k,1,)(,k,2,),12,(,k,1,)(,k,2,),12,当,n,k,1,时，等式也成立,综合,(1)(2),，对,n,N,*,等式都成立,1,13,1,35,2,用数 学 归纳 法 证明：,n,N*,时，,n,1,.,(,2,n,1,)(,2,n,1,),【,互动探究,】,，,，左边右边，所以等式成立,，,k,1,k,(,2,k,3,),1,证明：,(1),当,n,1,时，左边,1 1,13 3,右边,1,21,1,1,3,(2),假设当,n,k,(,k,N*),时等式成立，即有,1,13,1,35,1,(,2,k,1,)(,2,k,1,),k,2,k,1,那么当 nk1 时，,1,13,1,35,1,(,2,k,1,)(,2,k,1,),1,(,2,k,1,)(,2,k,3,),2,k,1,(,2,k,1,)(,2,k,3,)(,2,k,1,)(,2,k,3,),2,k,2,3,k,1,k,1,k,1,，,(,2,k,1,)(,2,k,3,),2,k,3 2,(,k,1,),1,所以当,n,k,1,时，等式也成立,由,(1)(2),可知，对一切,n,N,*,等式都成立,考点,3,用数学归纳法证明不等式命题,当,n,k,1,时，不等式成立,，,由,(1)(2),知,，等式对所有正整数都成立,(1)用数学归纳法证明命题，格式严谨，必,须严格按步骤进行；(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标,进行变形；(3)由 k 推导到 k1 时，有时可以“套用其他证明,方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活的,一面,8(,k,1),9,9(3,2k+2,8,k,9),98,k,99,考点,4,用数学归纳法证明整除性命题,例,4,：试证：,当,n,为正整数时，,f,(,n,),3,2,n,+2,8,n,9,能被,64,整除,由于,3,2(,k,+1)+2,即,f,(,k,1),9,f,(,k,),64(,k,1),，,解析：方法一：,(1),当,n,1,时，,f,(1),3,4,8,9,64,，,命题显然成立,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，,f,(,k,),3,2,k,+2,8,k,9,能被,64,整除,【,互动探究,】,3,求证：二项式,x,2,n,y,2,n,(,n,N*),能被,x,y,整除,错源：由,n,k,变化到,n,k,1,时理解不透彻,纠错反思：数列中的不等式常用的放缩方法有：利用分式,的性质、利用根式的性质、利用不等式的性质、利用二项展开,式、利用函数的性质等进行放缩,.,【,互动探究,】,“归纳猜测证明是一个完整的发,现问题和解决问题的思维模式，对于探索命题特别有效，要求,善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证,1,用数学归纳法证明问题时应注意：,第一步验证,n,n,0,时，,n,0,并不一定是,1,；,第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由,k,到,k,1,时命题的,变化；,由假设,n,k,时命题成立，证,n,k,1,时命题也成立，要,充分利用归纳假设，要恰当地“凑出目标,2,用数学归纳法证明时，从,n,k,到,n,k,1,的关键是，,要注意初始值，要弄清,n,k,和,n,k,1,时的结论是什么，要有,目标意识，紧盯,n,k,1,时的结论，对,n,k,时的结论进行一系,列的变形，变形的目标就是 nk1 时的结论，这就是所谓的,“凑假设，凑结论,
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