初中数学中的分类思想方法

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,初中数学中的分类思想方法,北京市团结湖三中 付长虹,2010,年,2,月,28,日,所谓,分类讨论,，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答,实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略,.,简单地说，,把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做分类讨论法。,一、分类思想方法定义与特点,分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。,划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类的标准。,因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。,分类讨论法的理论依据：,逻辑划分原则,二、,分类讨论法的理论依据,二、,分类讨论法的理论依据,逻辑划分原则是：,一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。,划分的规则：,1,.,划分后各个子项应当互不相容,（不重）。,2.,划分后各个子项必须穷尽母项,（不漏）。,3.,每次划分都应按同一标准。,规则,1,：,划分后各个子项应当互不相容,（不重）。,从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。,例如,：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示,如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则,1,。,划分规则举例：,规则,2,：划分后各个子项必须穷尽母项,（不漏）。,从集合的角度看，划分后所有的子集的并,集,应该等于是全集。,例如,：自然数可以分为奇数和偶数两类。,如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然数,1,，因为,1,既不是素数也不是合数。,从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集，因此，这样分类不符合规则,2,。,划分规则举例：,规则,3,：每次划分都应按同一标准。,分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。,例如,：三角形可以如下分类,锐角,有两边相等的 直角,三边都不等的,钝角,按边分 按角分,如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则,3,。,划分规则举例：,三、分类思想方法的作用,可化繁就简，化难为易。,可使思维有序、有条理。,可使思维全面、缜密。,人教版,3.2,解一元一次方程（一）中的例,4,如下：,例,4,根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。,一个月内在本地通话,200,分钟和,350,分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？,对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式一样多吗？,引申：,怎样选择计费的方式？,作用举例,:,化繁就简，化难为易。,25,（,5,分）,如图，,OC,是,AOB,的平分线，且,AOD,90,（,1,）图中,COD,的余角是,；,（,2,）如果,COD,=,；,求,BOD,的度数,.,，,朝阳区,0910,年七上期末考试,作用举例,:,使思维有序、有条理,23.,在,ABC,中，,AB=AC,点,D,是直线,BC,上的一点（不与点,B,、,C,重合），以,AD,为一边在,AD,的右侧作,ADE,，使,AD=AE,DAE=BAC,连接,CE.,(1),如图，点,D,在线段,BC,上，若,BAC=90,，则,BCE,等于,度；,(2),设,BAC=,，,BCE=.,如图，若点,D,在线段,BC,上移动，则,与,之间有怎样的数量关系？请说明理由；,若点,D,在直线,BC,上移动，则,与,之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论,.,(1),(2),朝阳区,0910,年八上期末考试,作用举例,当点,D,在射线,BC,上时，,+,=180,；,当点,D,在射线,BC,的反向延长线上时，,=,作用举例：,使思维全面、缜密,25.,如图，在直角坐标系中，点,A,的坐标为,(1,0),，点,B,在,y,轴正半轴上，且,AOB,是等腰直角三角形，点,C,与点,A,关于,y,轴对称，过点,C,的一条直线绕点,C,旋转，交,y,轴于点,D,，交直线,AB,于点,P,（,x,y,），且点,P,在第二象限内,.,(1),求,B,点坐标及直线,AB,的解析式；,(2),设,BPD,的面积为,S,，试用,x,表示,BPD,的面积,S.,朝阳区,0910,年八上期末考试,作用举例,A,B,O,x,y,C,D,P,点,P,在直线,AB,上，则,P(x,，,-x+1).,设过,P,、,C,两点的直线的解析式为,y=,kx+b,.,C(-1,0),在直线,y=,kx+b,上，,-,k+b,=0.k=b,y=,bx+b,.,点,P(x,，,-x+1),在直线,y=,bx+b,上，,bx+b,=-x+1,解得,b=,.,点,D,的坐标为（,0,，）,.,作用举例,A,B,O,x,y,C,D,P,A,B,O,x,y,C,D,P,点,D,的坐标为（,0,，,),作用举例,(1),确定同一分类标准；,(2),恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；,(3),逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；,(4),综合概括小结，归纳得出问题结论,确定分类标准，是分类讨论的重要一环。,四、,分类讨论思想方法的步骤：,五、隐含分类思想方法的教学内容,1,、数与式,有理数的分类,相反数,绝对值,有理数的大小比较,有理数的运算法则,（,1,）有理数,（,2,）实数,平方根、立方根,无理数的形式,（,3,）式,式的分类,分式的加减,实数的分类,二次根式的化简,五、隐含分类思想方法的教学内容,2,、方程与不等式,方程的分类,不等式的性质,分段函数,一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质,不等式组的解集,3,、函数,一元二次方程的解,五、隐含分类思想方法的教学内容,4,、图形的认识,线的分类,面的分类,垂线性质,三角形按边、按角的分类,角的分类,图形的分类,三线八角,三角形高的位置,三角形外心的位置,三角形全等的条件,等腰三角形边和角计算,勾股定理的应用,四边形的分类,弦、弧的分类,与圆有关的位置关系,圆周角定理,五、隐含分类思想方法的教学内容,5,、图形与变换,相似三角形的对应关系,列举法,6,、统计与概率,六、初中阶段分类思想方法教学,步骤：,一、抓准时机，渗透分类的思想方法,。,三、深化提高,，,应用分类的思想方法研究问题,。,二、启发诱导,，,揭示分类思想方法的本质,。,1.,在概念的学习中，渗透分类的思想,。,2.,在法则的探究中，渗透分类的方法。,3.,在图形的求解中，渗透分类的意识。,1.,根据问题的需要，进行分类。,2.,分类要有明确的标准。,1.,根据字母的取值范围分类,2.,根据几何图形的位置关系分类,六、初中阶段分类思想方法教学,策略：,1,、根据字母的取值范围分类,二次根式的化简,方程的分类,不等式的性质,一元二次方程的解,一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质,3,策略举例,4,、,5.,6.,抛物线,y,a,2,c,与,y,轴交点到原点的距离为,3,，且过点（,1,，,5,）,求这个函数的解析式,（,y,2x2,3,或,y,8x2,3,）,策略举例,六、初中阶段分类思想方法教学,策略：,2、根据几何图形的位置关系分类,垂线性质,三线八角,三角形高的位置,三角形外心的位置,三角形全等的条件,等腰三角形边和角计算,勾股定理的应用,四边形的分类,与圆有关的位置关系,圆周角定理,相似三角形的对应关系,1.,2.,3.,策略举例,4.,5.,策略举例,已知,O,的半径为,5cm,，,AB,、,CD,是,O,的弦，且,AB=8cm,，,CD=6cm,，,ABCD,，则,AB,与,CD,之间的距离为,_,（,1cm,或,7cm,）,已知,O,1,和,O,2,相切于点,P,，半径分别为,1cm,和,3cm,则,O,1,和,O,2,的圆心距为,_,（,2cm,或,4cm,）,6.,7.,策略举例,8.,9.,策略举例,七、分类思想方法在新课探究中的应用举例,探究三角形全等的条件,问题,：,探究三角形全等的条件,标准：,1,、元素个数；,2,、元素内容、位置,分类：,6,大类，,14,小类,研究：,证明,归纳：,（,1,）判断两个三角形是否全等至少,需要三个条件；（,2,）能够判断两个,三角形全等的方法有：,SSS,、,SAS,、,ASA,、,AAS,。,八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例,已知关于的一元二次方程 有实数根，为正整数,.,（,1,）求,k,的值；,（,2,）当此方程有两个非零的整数根时，将关于,x,的二次函数 的图象向下平移,8,个单位，求平移后的图象的解析式；,（,3,）在（,2,）的条件下，将平移后的二次函数的图象在,x,轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象,.,请你结合这个新的图象回答：当直线,与此图象有两个公共点时，,b,的取值范围,.,09,年北京中考第,23,题,09,年北京中考第,23,题,根据字母的范围找到符合要求的类别，有三类,09,年北京中考第,23,题,根据函数图像不同的位置分类，有两种不同的位置,09年湖北黄冈,第,20题,(3),当,0,t,时,PQ,F,的面积是否总为定值,?,若是,求出此定值,若不是,请说明理由,;,(4),当,t,为何值时,PQF,为等腰三角形,?,请写出解答,过程,09年湖北黄冈,第,20题,09年湖北黄冈,第,20题,09年湖北黄冈,第,20题,09年湖北黄冈,第,20题,根据等腰三角形的腰的位置分类，有三类情况,07,年北京中考第,21,题,根据直角三角形的位置分类，有两种情况,