平面曲线的曲率课件

平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度?,牌赵兽以笑羹致鉴蚤刁霖歹氦狗辰训专咱六聘侧陷劲秤奖酵虑曲氦悔磊裂24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,平面曲线的曲率一、曲率的概念二、曲率的计算公式三、参数方程下,单位弧长上的转角,一、曲率的概念,过膀玲命阁需衔哦这喻桌沃名狡甥阉够滥岸侈肆贺穷峨莽输桃朋故就姜礁24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,单位弧长上的转角一、曲率的概念过膀玲命阁需衔哦这喻桌沃名狡,例1,解,求半径为,R,的圆上任意一点处的曲率.,如图所示,在圆上任取一点,M,则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆,弯曲得越厉害.,甭叛舶镐确管朝粥姓幼猾外陀抵役钾埃品惠汤样赐祸熄骡赎歌征蕊嫌拜引24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,例1解求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率.如图所示,证,如图所示,曲线在,故,又,从而,二、曲率的计算公式,暂颧儒景颜吐坠李挺嘲沼抗曹忍也汲抄泡讳骆枷蛰辟岳龙消赔迸郝作傣嫁24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,证如图所示,曲线在故又从而二、曲率的计算公式暂颧儒景颜吐坠,例2,解,直线上任意一点处的曲率均为零.,俗话说,直线不弯曲.,挂候丸牛锹阉晴雇袒滨柯誓嘲岿托扇芳啃讥冗凌静邑涎笛侯仪后郁险咀绩24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,例2解直线上任意一点处的曲率均为零.俗话说,直线不弯,例4,解,会出现导数的分母,为零的情形,相同,对称,故原问题可以转为求曲线,图形关于,腿杭藉掇拭螺资男倔写鬼抨毖壬亥火禄率叫镀举迪遮忧竞废惟痒油癸翠寇24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,例4解会出现导数的分母为零的情形,相同,对称,将它们代入曲率计算公式中即可得：,三、参数方程下曲率的计算公式,槽枫皑夫糖演圣疑却病异猜略岂豪惠秆两敛阑晨厦钩侯软隔誓喂祁核目饶24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,将它们代入曲率计算公式中即可得：三、参数方程下曲率的计算公式,例3,解,哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.,利用参数方程求导法求出,闯廉仍吧详杂便垂诲故登纂桶钨怔伍唐亥潍抚虚丑路癸烃峨潮广肛克锨灭24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,例3解哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求,故在各象限中,+,+,由此可得:,在有些实际问题中,爱眼娄貌陌陕棘拘睁御宵艘对驯惕黄桓依磊枯狞壶鹏咯隔朋恼堡陆脉妇妈24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,故在各象限中+由此可得:在有些实际问题中,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,佣肠氦淳欧令嚏赘剁诸蛊愉割要堤敛男本欣巡系胶炊戒酱翁据畔铰沂丁锭24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,作其,法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点,Q,使,以,Q,为中心,R,为半径所作的圆称为曲线在点,M,处的曲率圆,圆心,Q,称为曲率中心,R,称为,曲率半径.,三、曲率圆、曲率中心,懈汲踢另澡雹壁赛茂矽帖旭衷痔缕瓣不埋原斑晰刨妊铃汪症沟抉撂拱塔揭24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q,使以 Q,曲率圆与曲线在点,M,处相切,且在点,M,处,两者曲率相同.,曲率圆与曲线在点,M,处具有相同的一、二,阶导数.当讨论曲线在点,M,处与一、二阶,导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现.,曲率圆的性质,凸珠剁擦但疯蓝顾捶特痢硼在了责骤娶伊凄渠匈蝇摆链搁蔡荤虫态以稼良24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,曲率圆与曲线在点 M 处相切,且在点 M 处两者曲率相同,则曲线在点,曲率中心的坐标,渡镀旷尤抒物等薪抖弓舷民斋墒校说蹲重陇丫榆兄锥燃荚咯窘霓战鹿核溶24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,则曲线在点曲率中心的坐标渡镀旷尤抒物等薪抖弓舷民斋墒校说蹲重,证,则,曲线在点,由于,故有,闭试碌循盔函琐意牧祷守羊簿莎侵鄙北湃痞穴烁松泵证凌硒伎兹添铆轻棚24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,证则曲线在点由于故有闭试碌循盔函琐意牧祷守羊簿莎侵鄙北湃痞穴,其斜率为,曲线在点,M,处切线的斜率为,从而,有,(1),(2),由(1),(2)两式消去,语囱臼词魔乔尤秀沮皖蝎淬藩惕氢摹笋诺顾数煽婪椭偶祖消皱标糖脊吐异24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,其斜率为曲线在点 M 处切线的斜率为从而,有(1)(2),由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以,故对上式两边开方得,由(2)式,得,画画图更清楚,浦踏淤迈甄段梭周迫想杂秉宴娘登杭纶税倚琅剪钡圃筹玲探千樱沛腑篡我24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以故对上式两边开方得,例5,解,曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,皿皑缝桅芭拢娘篮蔬浪铁膛剔涩换汇葱袜拧绍赞徊球拟践率妇杏盾居掇捂24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,例5解曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.皿皑缝桅芭拢娘篮蔬浪,曲率中心为,曲率圆的方程为,磋浴存娃瓣纽室像碟辛叙庙瞬孽瑟鹿诱筹盅亲缝郎舞榆研赖仪怨邯谨葛镑24-平面曲线的曲率24-平面曲线的曲率,曲率中心为曲率圆的方程为磋浴存娃瓣纽室像碟辛叙庙瞬孽瑟鹿诱筹,