实验五一元函数积分学课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,MATLAB,高等数学实验,2024/11/11,1,实验五,一元函数积分学,实验目的,掌握用,MATLAB,计算不定积分与定积分的方法。通过作图和观察，深入理解定积分的概念和几何意义。理解变上限积分概念。提高应用定积分解决各种问题的能力。,2024/11/11,2,5.1,学习,MATLAB,命令,2024/11/11,3,5.1.1,积分命令,MATLAB,软件求函数积分的命令是,int,，它既可以用于计算不定积分，也可以用于计算定积分。,具体为,:,(1)int(f),求函数,f,关于,syms,定义的符号变量的不定积分,;,(2)int(f,v),求函数,f,关于变量,v,的不定积分,;,(3)int(f,a,b),求函数,f,关于,syms,定义的符号变量的从,a,到,b,的定积分,;,(4)int(f,v,a,b),求函数,f,关于变量,v,的从,a,到,b,的定积分。,2024/11/11,4,5.1.2,数值积分命令,quad(f,a,b),命令是用辛普森法求定积分 的近似值。其形式为,:,syms x,quad(f(x),a,b),例如求定积分 的近似值，可以输入,:,syms x,quad(sin(x.2),0,1),则输出为,:,ans=,0.3103,2024/11/11,5,5.2,实验内容,2024/11/11,6,5.2.1,用定义计算定积分,当,f(x),在,a,b,上连续时，有,:,因此将 与 作为,的近似值。在例,1,中定义这两个近似值为,f,，,a,，,b,和,n,的函数。,2024/11/11,7,【,例,1】,计算 的近似值。,输入,:,n=128;,x=0:1/n:1;,left_sum=0;,right_sum=0;,for i=1:n,left_sum=left_sum+x(i)2*(1/n);,right_sum=right_sum+x(i+1)2*(1/n);,end,left_sum,right_sum,输出为,:,left_sum=,0.3294,right_sum=,0.3372,2024/11/11,8,若将以上输入中的,n,依次换为,2,，,4,，,8,，,16,，,32,，,64,，,128,，,256,，,512,，,1024,，而其他的不改动，则输出依次为,:,nleft_sumright_sum,20.12500.6250,40.21880.4688,80.27340.3984,160.30270.3652,320.31790.3491,640.32560.3412,1280.32940.3372,2560.33140.3353,5120.33240.3343,10240.33280.3338,这是 的一系列近似值，且有,left_sum right_sum,。,2024/11/11,9,【,例,2】,计算 的近似值。,输入,:,n=100;,x=0:1/n:1;,left_sum=0;,right_sum=0;,for i=1:n,if i=1,left_sum=left_sum+1/n;,else,left_sum=left_sum+sin(x(i)/x(i)*(1/n);,end,right_sum=right_sum+sin(x(i+1)/x(i+1)*(1/n);,end,left_sum,right_sum,2024/11/11,10,输出为,:,left_sum=0.9469,righ_sum=0.9453,若将以上输入中的,n,依次换为,50,，,150,，,200,，,500,，而其余不改动，则输出依次为,:,n left_sumright_sum,500.94470.9445,1000.94690.9453,1500.94660.9456,2000.94650.9457,5000.94620.9459,注,用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随,n,收敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（,quad,命令就是利用抛物线法的）。,2024/11/11,11,5.2.2,不定积分计算,【,例,3】,求 。,输入,:,syms x,int(x2*(1-x3)5,x),则得到输出,:,ans=,-1/18*x18+1/3*x15-5/6*x12+10/9*x9-,5/6*x6+1/3*x3,即,:,注,用,MATLAB,软件求不定积分时，不自动添加积分常数,C,。,2024/11/11,12,【,例,4】,求 。,输入,:,syms x,int(exp(-2*x)*sin(3*x),x),则得到输出,:,ans=,-3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x),即,:,2024/11/11,13,【,例,5】,求,输入,:,syms x,int(atan(x)*x2,x),则得到输出,:,ans=,1/3*x3*atan(x)-1/6*x2+1/6*log(x2+1),即,:,2024/11/11,14,么么么么方面,Sds,绝对是假的,么么么么方面,Sds,绝对是假的,16,【,例,6】,求,输入,:,syms x,int(sin(x)/x,x),则输出为,:,ans=,sinint(x),它已不是初等函数。,2024/11/11,17,5.2.3,定积分计算,【,例,7】,求,输入,:,syms x,jf=int(x-x2),x,0,1),则得到输出,:,jf=,1/6,2024/11/11,18,【,例,8】,求,输入,:,syms x,jf=int(abs(x-2),x,0,4),则得到输出,:,jf=,4,2024/11/11,19,【,例,9】,求,输入,:,syms x,jf=int(sqrt(4-x2),x,1,2),则得到输出,:,jf=,2/3*pi-1/2*3(1/2),2024/11/11,20,【,例,10】,求,输入,:,syms x,jf=int(exp(-x2),x,0,1),则输出为,:,jf=,1/2*erf(1)*pi(1/2),其中,erf,是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分，输入,:,syms x,quad(exp(-x.2),0,1),则有结果,:,ans=,0.7468,2024/11/11,21,5.2.4,变上限积分,【,例,11】,求,输入,:,diff(int(w(x),0,(cos(x)2),则得到输出,:,ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)2),即,:,注,这里使用了复合函数求导公式。,2024/11/11,22,5.2.5,定积分应用,【,例,12】,求曲线 与,x,轴所围成的图形分别绕,x,轴和,y,轴旋转所形成的旋转体体积。用,surf,命令作出这两个旋转体的图形。,在图形绕,x,轴旋转时，体积,在图形绕,y,轴旋转时，体积,输入,:,ezplot(x*sin(x)2,0,pi),执行后得到的图形如图,5-1,所示。,2024/11/11,23,图,5-1,2024/11/11,24,观察,g(x),的图形。再输入,:,syms x,int(pi*(x*(sin(x)2)2,x,0,pi),则得到,:,ans=,1/8*pi4-15/64*pi2,即,:,2024/11/11,25,又输入,:,syms x,int(2*x2*pi*sin(x)2,x,0,pi),则得到,:,ans=,1/3*pi4-1/2*pi2,即,:,若输入,:,syms x,quad(2*pi*(x.2).*sin(x).2,0,pi),则得到体积的近似值为,:,ans=,27.5349,2024/11/11,26,为了作出旋转体的图形，输入,:,r=0:0.1:pi;t=-pi:0.1:pi;,r,t=meshgrid(r,t);,x=r;,z=r.*sin(t).*sin(r).2;,y=r.*cos(t).*sin(r).2;,surf(x,y,z),title(,绕,x,轴旋转,);,xlabel(x,轴,);ylabel(y,轴,);zlabel(z,轴,),便得到绕,x,轴旋转所得旋转体的图形,(,见图,5-2),。,注 利用曲面参数方程作出曲面图形的命令，详见实验六。,2024/11/11,27,图,5-2,2024/11/11,28,又输入,:,r=0:0.1:pi;t=-pi:0.1:pi;,r,t=meshgrid(r,t);,x=r.*cos(t);,z=r.*sin(t);,y=r.*sin(r).2;,surf(x,y,z),title(,绕,y,轴旋转,);,xlabel(x,轴,);ylabel(y,轴,);zlabel(z,轴,),便得到绕,y,轴旋转所得旋转体的图形,(,见图,5-3),。,2024/11/11,29,图,5-3,2024/11/11,30,