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根底知识,一、函数的奇偶性,1一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数；都有f(x)，函数f(x)叫偶函数，奇偶函数的定义域是 (大前提),f,(,x,),f,(,x,),关于原点对称的,2,函数可分为,(,按奇偶性,),：,、,、,、,任何一个定义域对称的非奇非偶函数都可写成一个奇函数与一个偶函数的和，即,f,(,x,),奇函数,偶函数,既奇,且偶函数,非奇非偶函数,3根本性质：在公共定义域上，两函数有：奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 ，奇奇 ，偶偶 (分母不为零),奇函数的反函数是 ，假设奇函数的定义域包含0时，那么 .,4图象特征：奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称；反之亦然,奇,偶,偶,偶,偶,偶,奇函数,f,(0)0,原点,y,轴,5判定方法：首先看函数的,，假设对称，再看：,f(x)是奇函数f(x)f(x)f(x)图象 对称；,f(x)是偶函数f(x)f(x)f(x)f(x)f(|x|)图象关于 对称,定义域是否关于原点,对称,f,(,x,),0,1(,f,(,x,)0),关于原点,f,(,x,),0,1(,f,(,x,)0),f,(,x,),y,轴,6推广：,y,f,(,a,x,)是偶函数,f,(,a,x,),f,(,x,),f,(,x,)关于,对称；类似地，,f,(,a,x,),f,(,b,x,),f,(,x,)关于,x,对称,y,f,(,b,x,)是奇函数,f,(,b,x,),f,(,x,)关于,成中心对称图形；类似地，,f,(,a,x,),f,(,b,x,),f,(,x,)关于(，0)中心对称,f,(,a,x,),f,(2,a,x,),x,a,f,(,b,x,),(,b,0),7一些重要类型的奇偶函数：,函数,f,(,x,),a,x,a,x,为,函数，函数,f,(,x,),a,x,a,x,为,函数；,函数,f,(,x,)(,a,0且,a,1)为,函数；,函数,f,(,x,)log,a,为,函数；,函数,f,(,x,)log,a,(,x,)为,函数,奇,奇,奇,奇,偶,二、函数的周期性,1对于函数f(x)，如果存在一个 常数T，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的 如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 就叫f(x)的最小正周期,2周期函数 有最小正周期，假设T0是f(x)的周期，那么kT(kZ，k0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无 界,非零,每一个,f,(,x,T,),f,(,x,),周期,最小的正数,最小正数,不一定,上、下,3设a为非零常数，假设对f(x)定义域内的任意x，恒有以下条件之一成立：f(xa)f(x)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)；f(xa)f(xa)，那么f(x)是 函数，是它的一个周期(上述式子分母不为零),周期,2,a,假设f(x)同时关于xa与xb对称(a0)，那么f()_.,解析：f()f(),又f()f(T )f(),故f()0.,答案：0,5(2021重庆，12)假设f(x)a是奇函数，那么a_.,解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，,答案：,【例1】判断以下函数的奇偶性,命题意图此题主要考查对函数奇偶性定义的理解,解答(1)由 0，得定义域为1,1)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数,(3)当x0，那么,f(x)(x)2(x)x2xf(x),当x0时，x1，f(3)a，那么(),Aa3,Ca1,解析f(x5)f(x)，f(3)f(25)f(2)，又f(x)为奇函数，f(2)f(2)，又f(2)1，a1，选择C.,答案C,设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x 对称，那么f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.,解析：f(x)在R上为奇函数，,f(x)f(x)，且有f(0)0.,又yf(x)的图象关于x 对称，,f(x)f(x)，,f(1x)f (x),f (x),f(x)f(x),f(2x)f(1x)f(2x)f(x),函数的周期为2，且f(1)0.,f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(1)f(0)f(1)f(0)f(1)0.,答案：0,总结评述：此题考查函数的奇偶性、对称性、周期性等函数性质.,【例3】(2021朝阳模拟)函数f(x)是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x1对称,(1)求f(0)的值；,(2)证明函数f(x)是周期函数；,(3)假设f(x)x(0 x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象,解析(1)因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，又f(x)的定义域为R，令x0，那么f(0)f(0)，所以f(0)0.,(2)证明：因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x),又f(x)关于直线x1对称，所以f(x)f(2x)，,即f(x2)f(x),所以f(x4)f(x2)2f(x2),f(x)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.,(3)解：设1x0，那么0 x1，所以f(x)x，又f(x)f(x)，,所以当1x0时，f(x)x，即f(x)x.又因为f(0)0，,所以当1x1时，f(x)x.,当1x3时，3x1，那么12x1，,所以f(2x)2x，而f(x)关于直线x1对称，,所以f(2x)f(x)，所以f(x)2x(1x3)，,那么f(x),那么f(x),总结提示(1)假设奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0.(2)假设函数f(x)对定义域内的任意x都有f(ax)f(ax)，那么函数f(x)的图象关于直线xa对称，反之也成立,函数,f,(,x,)的定义域为,D,x,|,x,0，且满足对于任意,x,1,、,x,2,D,，有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),(1)求,f,(1)的值；,(2)判断,f,(,x,)的奇偶性并证明；,(3)如果,f,(4)1，,f,(3,x,1),f,(2,x,6)3，且,f,(,x,)在(0，)上是增函数，求,x,的取值范围,解：,(1)令,x,1,x,2,1，有,f,(11),f,(1),f,(1)，解得,f,(1)0.,(2)令,x,1,x,2,1，有,f,(1)(1),f,(1),f,(1)解得,f,(1)0.,令,x,1,1，,x,2,x,，有,f,(,x,),f,(1),f,(,x,)，,f,(,x,),f,(,x,),f,(,x,)为偶函数,(3),f,(44),f,(4),f,(4)2，,f,(164),f,(16),f,(4)3.,又,f,(3,x,1),f,(2,x,6)3,即,f,(3,x,1)(2,x,6),f,(64)(*),f,(,x,)在(0，)上是增函数，,(*)等价不等式组,或,即 或,3,x,5或,总结评述：这种利用函数满足某一等式，判断其奇偶性问题，主要是利用取特殊值法，如此题中可令x11，x2x，使式子中出现f(x)与f(x)，然后再一步步地考虑还需求f(1)，f(1)，仍然用取特殊值法求解抽象函数不等式，主要是利用函数的单调性再结合函数其他性质脱去符号“f,1奇偶性是函数在定义域上的整体性质，因此讨论函数奇偶性首先要看其定义域函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，一个函数是奇(偶)函数的充要条件是其函数图象关于原点(,y,轴)对称,2奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变形式：,f(x)f(x),3解题中要注意以下性质的灵活运用：,(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；,(2)假设奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)0.,4函数周期性问题应牢牢把握周期函数的定义，并掌握一些常见确实定函数周期的条件,
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