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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,向量的运算与图形的性质,向量的运算与图形的性质,一 教材分析,我上课内容是：教科书（人教,A,版）,数学必修,4,第二章“平面向量的数量积”的第一课时,-,平面向量数量积的物理背景及其含义。平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。,一 教材分析我上课内容是：教科书（人教A版）数学必修4第,二 学情分析,学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。,二 学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，,三目标分析,根据学生的实际情况和本节课难点分析再结合“课标”要求制定如下教学目标：,1,、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；,2,、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，,并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；,3,、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。,三目标分析根据学生的实际情况和本节课难点分析再结合“课标”要,四 教学过程,创设问题情景，激发学习兴趣,探究数量积的概念,探究数量积的运算性质,探究数量积的运算律,应用与提高,小结提升与作业布置,板书设计,四 教学过程创设问题情景，激发学习兴趣,创设问题情景，激发学习兴趣,设置问题引入本课,问题,1,：如图所示，一物体在力,F,的作用下产生位移,S,（,1,）力,F,所做的功,W=,。（,2,）请同学们分析这个公式的特点：,W,（功）是,量，,F,（力）是,量，,S,（位移）是,量，,a,是 量,S,F,a,创设问题情景，激发学习兴趣 设置问题引入本课（1）力F所做的,问题的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。,问题的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我,探究数量积的概念,在分析“功”的计算公式的基础上提出问题,2,问题,2,：你能用文字语言来表述功的计算公式吗,?,如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？,通过学生分析明晰概念：,已知两个非零向量与，它们的夹角为,a,，我们把数量,cosa,叫做与的数量积（或内积），记作：,，,即：,=,cosa,探究数量积的概念 在分析“功”的计算公式的基础上提出问题2,我们给出概念后提出问题,3,问题,3,：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：,通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫,的符号,90a180,a=90,0a90,角的范围,我们给出概念后提出问题3 通过此环节不仅使学生认识到数量积的,探究数量积的运算性质,教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问题,4,：,比较,与,的大小，你有什么结论？,在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。,探究数量积的运算性质教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式,这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。,数量积的性质,设 和,都是非零向量，则,1,、,=,0,2,、当与同向时,=,；,当与反向时，,=-,，,特别地，,=,2,或,=,3,、,这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的,探究数量积的运算律,关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题,5,问题,5,：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？,通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。,学生可能会提出以下猜测：,=,（,）,=,(),（,+,）,=,+,猜测的正确性是显而易见的。,关于猜测的正确性，我提示学生思考下面的问题：,猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？,学生通过讨论不难发现，猜测是不正确的。,这时教师在肯定猜测的基础上明晰数量积的运算,探究数量积的运算律关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为,数量积的运算律,在这运算律的证明环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。,已知向量 、,、,和实数,，则：,（,1,）,=,（,2,）,（,）,=,（,),=,（,）,（,3,）（,+,）,=,+,数量积的运算律 在这运算律的证明环节中，我仍然是首先为学生创,应用与提高,例,1,、（师生共同完成）已知,=6,，,=4,与 的夹角为,60,，求,（,+,2,）,（,-,3,）,，并思考此运算过程类似于哪种运算？,例,2,、（学生独立完成）对任意向量,，,b,是否有以下结论：,（,1,）,(,+,)2,=,2,+,2 +2,（,2,）,(,+,)(,-,),=,2 2,例,3,、（师生共同完成）已知,=3,，,=4,且,与,不共线，,k,为何值时，向量,+k,与,-k,互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？,应用与提高 例1、（师生共同完成）已知=6，=4,练习,下列两个命题正确吗？为什么？,、若 ,0,，则对任一非零向量 ，有,0,、若 ,0,，,，则 ,安排本练习的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，,练习下列两个命题正确吗？为什么？安排本练习的主要目的是，使学,小结提升与作业布置,1,、本节课我们学习的主要内容是什么？,2,、,平面向量数量积的运算律是什么？,3,、平面向量的运算性质是什么？,4,、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积,通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。,小结提升与作业布置 1、本节课我们学习的主要内容是什么？,布置作业,1,、课本,P121,习题,2.4A,组,1,、,2,、,3,。,2,、拓展与提高：,已知与都是非零向量，且,+3,与,7 -5,垂直，,-4,与,7 -2,垂直,求 与 的夹角。,布置作业 1、课本P121习题2.4A组1、2、3。,板书设计,平面向量数量积的物理背景及其含义,一、数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高,1,概念：例,1,：,2,概念强调（,1,）记法 例,2,：,（,2,）,“,规定,”,三、数量积的运算律 例,3,：,3,、几何意义：,4,、物理意义：,板书设计 平面向量数量积的物理背景及其含义,谢谢指导,谢谢指导,
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