第02节可分离变量的微分方程课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 可分离变量的微分方程,一、一阶微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解,华南理工大学数学科学学院,杨立洪 博士,第二节 可分离变量的微分方程 一、一阶微分方程 二,1,一、一阶微分方程,首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：,例,一阶微分方程：,可以写成,即,也可以写成,一般，一阶微分方程都具有以下三种等价形式：,（1）,（2）,（3）,一、一阶微分方程首先，对一阶微分方程作一次概要的介绍：例 一,2,问题：如何求解一阶微分方程？,难！,问题的简化：,以下几节我们只讨论几种特殊 类型的一阶微分方程：,问题：如何求解一阶微分方程？难！问题的简化：以下几节我们,3,二、可分离变量的微分方程及其求解,如果一阶微分方程能化成,(,特点:,左边只含有变量y和dy；右边只含有变量x和dx,),（4）,的形式，则该一阶微分方程称为可分离变量的,微分方程,二、可分离变量的微分方程及其求解 如果一阶微分方程能化成(特,4,什么方程是可分离变量的微分方程呢？,形如,（5）,（6）,的一阶微分方程都是,可分离变量的微分方程。,或,什么方程是可分离变量的微分方程呢？形如（5）（6）的一,5,第二步：两边积分,解法,：,第一步：分离变量,或,或,第二步：两边积分解法：第一步：分离变量或 或,6,针对,和,依次为,和,的原函数，,设,(),H x,为,微分方程的解(又叫隐式通解),则,针对 和 依次为 和 的原函数，设()H x为微分方程的,7,三、例题,例1,求微分方程,的通解,解,原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量,两边积分,得：,从而,（C任意常数），,即,为所求通解。,三、例题 例1 求微分方程 的通解 解 原方程是一,8,例2,求解初值问题,解,原方程化为,它是可分离变量方程,分离变量,两边积分,例2 求解初值问题 解 原方程化为它是可分离变量方程分离,9,得：,即：,记,则通解为,将,代入上式，得,故所求特解为,得：即：记 则通解为 将 代入上式，得 故所求特解为,10,解,设,由题设，有,这是一个可分离变量的方程。,分离变量,例3,衰变问题：已知镭的分解速度与所存镭,的质量M,成正比，已知,，求各个时,的存镭量。,刻,解 设 由题设，有 这是一个可分离变量的方程。分离变量,11,两边积分,，即,由初始条件,，得,为所求,两边积分 ，即 由初始条件，得,12,例4,求方程,的通解。,这是一个可分离变量方程。,解,令,，则,分离变量,例4 求方程 的通解。这是一个可分离变量方程。解 令,13,两边积分,通解为,两边积分 通解为,14,本节学习内容是：,1.可分离变量方程的“标准型”；,四、小结,2.分离变量法步骤：,(1)分离变量;(2)两边积分;(3)求得隐式通解,本节学习内容是：1.可分离变量方程的“标准型”；四、,15,五、重点,掌握分离变量法。,六、难点,对某些一阶方程，寻找变量找换，,将原方程,化为可分离变量方程。,五、重点掌握分离变量法。六、难点对某些一阶方程，寻找变量找换,16,七、主要题型,1.对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解,2.简单的应用题,七、主要题型1.对可分离变量的一阶微分方程，求通解和特解,17,八、学习方法指导,熟记“标准型”，掌握可分离变量方程的特征和一些简单的变量代换；会使用分离变量法，并要加强不定积分运算训练。,八、学习方法指导 熟记“标准型”，掌握可分离变量方,18,九、常见问题辅导：,1.为什么在微分方程中，,和,常常通用，而不严格区分其,的细微之处？,九、常见问题辅导：1.为什么在微分方程中，和 常常通用,19,答：,我们用一个例子来说明：,例,求解微分方程,的通解,解一,原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量且,两边积分：,得：,是任意常数；,从而:,C 是任意常数，,即,为所求通解。,答：我们用一个例子来说明：例 求解微分方程 的通解,20,解二,原方程是一个可分离变量的方程；,分离变量且两边积分：,，,得：,是任意常数,从而,C 是任意正常数,(这个表达式与解一中的表达式形式完全一样，,只要在此处依然理解C是任意常数，约束,两个解便完全一致),消失，,也就,即,（C任意常数）为所求通解。,解二 原方程是一个可分离变量的方程；分离变量且两边积分：,21,2.为什么有时候把积分常数C写成,、,？,常将C写成,或,这样，,。如果,时,也是方程的,解，那未,还是任意常数。,于是，将解直接写成,答：,当积分一个微分方程出现自然对数（如：,）,时，,2.为什么有时候把积分常数C写成、？常将C写成 或,22,十、课堂练习,1.,解方程,2.,解微分方程初值问题,，,十、课堂练习 1.解方程 2.解微分方程初值问题，,23,十一、课堂练习题解,1.解 这是可分离变量方程；,分离变量,两边积分,通解为,十一、课堂练习题解1.解 这是可分离变量方程；分离变量 两,24,2.解,这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量并积分之，得,通解,将,代入，得,故特解为,2.解 这是对称形式的可分离变量方程；分离变量并积分之，得,25,十二、自测题,一、求下列微分方程的通解：,1.,2.,二、求下列微分方程的特解,1.,，,2.,，,十二、自测题 一、求下列微分方程的通解：1.2.,26,三、,（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，,室温为To，时间单位为小时，根据试验，热水,温度降低率与 TTo成正比，求T与t的函数关系.,又设,，,时T100，,T50，,问几小时后水温为95？,时,三、（热水降温问题）设热水瓶内热水温度为T，室温为To，时间,27,十三、自测题题解,一、1解,这是可分离变量方程，,分离变量并两边积分，得：,通解为,十三、自测题题解一、1解 这是可分离变量方程，分离变量并两,28,一、2解,这是可分离变量方程，,通解为,分离变量并两边积分得：,一、2解 这是可分离变量方程，通解为 分离变量并两边,29,二、1解,这是可分离变量方程，,分离变量，两边积分得,即：,将,代入得,故特解为,二、1解 这是可分离变量方程，分离变量，两边积分得 即,30,二、2 解,这是对称形式的可分离变量方程；,分离变量，两边积分，得,故,为通解,将,代入，得,故特解为,二、2 解 这是对称形式的可分离变量方程；分离变量，两边,31,三、解,设,，由题设，有,这是可分离的变量方程，,又将初始条件代入，可求得,故有,令,时，,（小时）,其通解为,三、解 设，由题设，有 这是可分离的变量方程，又将初始条,32,