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24.1.2,垂直于弦的直径,R,九年级上册,新课导入,圆是轴对称图形吗？,(1),能通过折纸探究圆的对称性，能证明圆是轴对称图形,.,(2),能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论,.,(3),能利用垂径定理解决相应问题,.,推进新课,什么是轴对称图形？,我们学过哪些轴对称图形？,回 顾,知识点,1,圆的轴对称性,如果一个图形沿一条直线,对折,，直线两旁的部分能够互相,重合,，那么这个图形叫,轴对称图形,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,发现：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,探究,圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线,.,圆有哪些对称轴？,O,如何来证明圆是轴对称图形呢？,B,O,A,C,D,E,是轴对称图形,大胆猜想,已知：在,O,中，,CD,是直径，,AB,是弦，,CD,AB,，垂足为,E,左图是轴对称图形吗？,满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？,证明：,连结,OA,、,OB,.,则,OA,OB,又,CD,AB,，,直径,CD,所在的直线是,AB,的垂直平分线,.,对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线,CD,的对称点，即,O,关于直线,CD,对称,.,B,O,A,C,D,E,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴,.,知识点,2,垂径定理及其推论,显然，由上面的证明可知，如果,O,的直径,CD,垂直于弦,AB,垂足为,E,，那么点,A,、,B,是关于,CD,所在直线的对称点，则,AE,=,BE,.,把,O,沿,CD,对折时，,AD,与,BD,重合，即,AD,=,BD,.,B,O,A,C,D,E,垂直,于弦的直径,平分,弦，并,且平分弦所对的两条弧,知识要点,垂径定理,B,O,A,C,D,E,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,D,O,C,A,E,B,D,O,C,A,E,B,图,1,图,2,图,3,图,4,O,A,E,B,D,O,C,A,E,B,AE,BE,AC,BC,AD,BD,CD,是直径，,AB,是弦，,CD,AB,过圆心,垂直于弦,平分弦,平分弦所对的优弧,平分弦所对的劣弧,题设,结论,D,O,A,B,E,C,垂径定理,推论,平分弦,（不是直径）的直径,垂直,于弦，并且平分弦所对的两条弧,N,O,A,B,M,C,D,注意,为什么强调这里的弦,不是直径,？,一个圆的任意两条,直径总是互相平分,，,但它们不一定互相垂,直,.,因此这里的弦如,果是直径，结论不一,定成立,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,.,如果具备：,（,1,）过圆心 （,2,）垂直于弦 （,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧 （,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任意,个条件都可以推出其他,个结论,.,注意,两,三,条件,结论,命题,平分弦,(,不是直径,),的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,垂径定理的推论,垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形,d+h=r,d,h,a,r,有哪些等量关系？,在,a,，,d,，,r,，,h,中，已知其中任意,两个量，可以求出,其它两个量,例,2,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有,1400,年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为，求赵州桥主桥拱的半径,(,结果保留小数点后一位,).,A,C,B,D,O,37,R,R,解：设赵洲桥主桥拱的半径为,R,.,则,R,22,+(,R,-7.23),2,解得：,R,因此，赵州桥的主桥拱,半径约为,27.3m.,A,C,B,D,O,37,R,R,随堂演练,基础巩固,1.,下列说法中正确的是,(),A.,在同一个圆中最长的弦只有一条,B.,垂直于弦的直径必平分弦,C.,平分弦的直径必垂直于弦,D.,圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴,B,2.,如图，,O,的弦,AB,垂直于半径,OC,，垂足为,D,，则下列结论中错误的是,(),A.,AOD,=,BOD,B.,AD,=,BD,C.,OD,=,DC,D.,AC,=,BC,3.,半径为,5,的,O,内有一点,P,，且,OP,=4,，则过点,P,的最长弦的长是,，最短弦的长是,.,C,10,6,4.,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,.,求证：四边形,ADOE,是正方形,.,证明：,AB,AC,，,OD,AB,，,OE,AC,.,四边形,ADOE,是矩形,.,又,OD,垂直平分,AB,，,OE,垂直平分,AC,AB,AC,四边形,ADOE,是正方形,.,5.,如图，在半径为,50mm,的,O,中，弦,AB,的长为,50mm.,求：,(1),AOB,的度数；,(2),点,O,到,AB,的距离,.,解：,(1),OA,=,OB,=,AB,=50mm,，,AOB,是等边三角形，,AOB,=60.,(2),作,OM,AB,，则,AOM,=,AOB,=30.,在,Rt,AOM,中，,AM,=,AB,=25mm.,6.,如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点,O,为圆心的圆的一部分，如果,M,是,O,中弦,CD,的中点，,EM,经过圆心,O,交,O,于点,E,并且,CD,=4m,EM,=6m.,求,O,的半径,.,解：连接,OC,.,OM,平分,CD,OM,CD,且,CM,=,MD,=,CD,=2m.,设半径为,r,，在,Rt,OCM,中，,OC,=,r,，,OM,=,EM,-,OE,=6-,r,由勾股定理得,OC,2,=,CM,2,+,OM,2,，即,r,2,=2,2,+(6-,r,),2,.,解得,r,=.,即,O,的半径为,m.,7.,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,AB,，点,O,是这段弧的圆心，,AB,300m,，,C,是,AB,上一点，,OC,AB,，垂足为,D,，,CD,45m,，求这段弯路的半径,.,解：设半径为,r,.,OC,AB,，,AD,=,BD,=,AB,=150m.,在,Rt,ODB,中，,OD,2,+,BD,2,=,OB,2,，,即,(,r,-45),2,+150,2,=,r,2,解得,r,=272.5m.,因此，这段弯路的半径为,272.5m.,8.,如图，两个圆都以点,O,为圆心,.,求证：,AC,=,BD,.,证明：过,O,作,OE,AB,，垂足为,E,，连接,OA,OC,OD,OB,则,AE,=,BE,，,CE,=,DE,，,AE,-,CE,=,BE,-,DE,，即,AC,=,BD,.,9.,O,的半径为,13cm,，,AB,、,CD,是,O,的两条弦，,AB,CD,，,AB,=24cm,，,CD,=10cm,，求,AB,和,CD,之间的距离,.,综合应用,解：分两种情况讨论,.,第一种情况：当,AB,、,CD,在圆心,O,的同侧时,.,如图,(1),，过点,O,作,OM,CD,，垂足为,M,，交,AB,于点,E,.,AB,CD.,OE,AB,.,连接,OB,、,OD,.,EM,OM,-,OE,7cm.,第二种情况：当,AB,、,CD,在圆心,O,的异侧时，,如图,(2),，同第一种情况可得,OE,=5cm,OM,=12cm,，,EM,=,OM,+,OE,=17cm.,即,AB,和,CD,之间的距离为,7cm,或,17cm.,10.,如图，,AB,和,CD,分别是,O,上的两条弦，圆心,O,到它们的垂线段分别是,OM,和,ON,，如果,AB,CD,，,OM,和,ON,的大小有什么关系？为什么？,拓展延伸,解：,OM,ON.,理由如下：连接,OA,、,OC,.,则,OA,OC,.,ON,CD,OM,AB,又,AB,CD,CN,AM,CN,2,AM,2,.,在,Rt,OCN,和,Rt,OAM,中，,OM,2,OA,2,-,AM,2,ON,2,OC,2,-,CN,2,OM,2,ON,2,.,OM,ON,.,课堂小结,垂径定理,垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,.,垂径定理的推论：,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,.,方法规律：,利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形后利用勾股定理解答,.,课后作业,1.,从课后习题中选取；,2.,完成练习册本课时的习题,.,学习目标,1,、经历探究等边三角形的性质和判定方 法的过程，并会作出合理解释。,2,、会应用等边三角形的判定和性质解题。,A,B,C,1,、什么是等腰三角形？,2,、等腰三角形有什么性质？,（,1,）,从边看：,（,2,）,从角看：,(3),从重要线段看,：,复习回顾,AB=AC,B=C,D,(4),从轴对称性看,：,等腰三角形的两腰相等,等腰三角形的两底角相等,等,腰,三角形,顶角,的平分线、,底边,上的中线和,底边,上的高线互相重合,等腰三角形是轴对称图形,你了解它们吗？,三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。,探索新知,A,B,C,AB=BC=CA,提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？,根据,等,腰三角形的性质去探讨等,边,三角形的性质：,从边看；从角看；从对称性看；从重要线段看,1.,等边三角形的内角都相等吗,?,为什么,?,等边三角形性质,A,B,C,探究新知,由已知,:AB=AC=BC,AB=AC,B=C(,为什么,?),同理,A=C,A=B=C,A+B+C=180,A=B=C=60,结论,:,等边三角形的内角都相等且等于,60,2,.,等边三角形是轴对称图形吗？若是，,有几条对称轴？,结论,:,等边三角形是轴对称图形，,有三条对称轴,.,探究新知,等边三角形性质,3.,等边三角形,每边,上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗,?,为什么,?,结论,:,等边三角形,各边,上中线,高和所对角的平分线都三线合一,（,它们交于一点,这点叫三角形的中心）,.,等边三角形性质,A,B,C,O,探究新知,小结,、等边三角形的各角都等于,60,、等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合,(,三线合一,),、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线,小结,等边三角形的判定：,三边相等的三角形是等边三角形,三角相等的三角形是等边三角形,有一个内角为,60,0,的等腰三角形是 等边三角形,有下列三角形：,有两个角等于,60,0,；,有一个角等于,60,0,的等腰三角形；,三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；,一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。,其中是等边三角形的有,_,小试牛刀,例,1,、,如图，等边三角形,ABC,中三条内角平分线,AD,、,BE,，,CF,相交于点,O,。,（,1,）,AOB,，,BOC,和,AOC,有什么关系？请说明理由；,（,2,）求,AOB,，,BOC,，,AOC,的度数。将,ABC,绕,O,点旋转，问旋转多少度，就能和原来的三角形重合（只要说出一个旋转度数）？,A,F,B,D,C,E,O,等边三角形的三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗？到各顶点的距离呢？,1.,三边都相等的三角形叫做,_,三角形,.,2.,等边三角形的每个内角都等于,_,度,.,3.,等边三角形有,_,条对称轴,.,4.,等边三角形绕中心至少旋转,_,度,.,才能和原来的三角形重合,.,跟踪训练,等边,60,3,120,(1),等边三角形的性质,.,小结,1.,等边
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