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单击此处编辑母版标题样式,*,上一页,下一页,湘潭大学数学与计算科学学院 王文强,第七节 方向导数与梯度,四、小结,一、问题的提出,二、方向导数的定义,三、梯度的概念,1,第七节 方向导数与梯度四、小结一、问题的提出二、方向导数,实例,：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的,实质,：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行,一、问题的提出,2,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,讨论函数 在一点,P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,3,讨论函数,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,当 沿着 趋于 时，是否存在？4,记为,5,记为5,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,6,证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到6,故有方向导数,7,故有方向导数7,解,8,解8,解,由方向导数的计算公式知,9,解由方向导数的计算公式知9,故,10,故10,推广可得三元函数方向导数的定义,11,推广可得三元函数方向导数的定义11,12,12,解,令,故,方向余弦为,13,解令故方向余弦为13,故,14,故14,三、梯度的概念,15,三、梯度的概念15,16,16,结论,17,结论17,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在,xoy,面上投影如图,等值线,梯度为等值线上的法向量,18,在几何上 表示,等值线的画法,播放,19,等值线的画法播放19,例如,20,例如,20,梯度与等值线的关系：,21,梯度与等值线的关系：21,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,22,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取,23,23,解,由梯度计算公式得,故,24,解由梯度计算公式得故24,1、方向导数的概念,2、梯度的概念,3、方向导数与梯度的关系,（注意方向导数与一般所说偏导数的,区别,）,（注意梯度是一个,向量,）,四、小结,25,1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注,思考题,26,思考题26,思考题解答,27,思考题解答27,28,28,练 习 题,29,练 习 题29,30,30,练习题答案,31,练习题答案31,等高线的画法,32,等高线的画法32,等高线的画法,33,等高线的画法33,等高线的画法,34,等高线的画法34,等高线的画法,35,等高线的画法35,等高线的画法,36,等高线的画法36,等高线的画法,37,等高线的画法37,等高线的画法,38,等高线的画法38,等高线的画法,39,等高线的画法39,等高线的画法,40,等高线的画法40,等高线的画法,播放,41,等高线的画法播放41,
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