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,第十四,章,整式的乘法与因式分解,14,.,3,因式分解,14.3.1,提公因式法,目,录,CONTENTS,1,学习目标,2,新课导入,3,新课讲解,4,课堂小结,5,当堂小练,6,拓展与延伸,7,布置作业,1.,了解并掌握因式分解的定义及意义,.,（重点）,2.,熟练运用提公因式法进行因式分解,.,(,难点）,学习目标,新课导入,思 考,请把下列多项式写成整式的乘积的形式：,(1),x,2,+,x,;,(2),x,2,-1,.,根据,整式的乘法,，可以联想到：,(1),x,2,+,x,=,x,(,x,+1),;,(2),x,2,-1=(,x,+1)(,x,-1),.,这样的运算是什么，有什么计算方法？,新课讲解,知识点,1,因式分解,定义：,把一个多项式,化成几个整式的积,的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的,因式分解,，也叫做把这个多项式,分解因式,.,可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即,新课讲解,知识点,1,因式分解,(1),因式分解是一种恒等变形，整式乘法是一种运算，故因式分解与整式乘法不是互逆运算，只是方向相反的变形；,(2),因式分解不针对单项式，只针对多项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分,.,因式分解的结果中的每个因式都是整式且不能再分解,.,新课讲解,(1),因式分解的结果一定是,几个整式的乘积,的形式，乘积中,相同因式的积要写成幂,的形式；,(2),分解因式，必须进行到每一个多项式因式都,不能再分解为止,.,重 点,知识点,1,因式分解,新课讲解,练一练,1,判断下列式子中哪些是因式分解？,是,是,否,否,3,x,+6,y,=3(,x,+2,y,),;,4,m,2,n,3,+2,mn,2,=2,mn,2,(2,mn,+1),;,(,x,+2,y,),2,=,x,2,+4,xy,+,4,y,2,;,(,a,+4)(,a,-4)=,a,2,-16,.,新课讲解,练一练,2,下列变形属于因式分解的有（）,8,xy,3,=2,xy,4,y,2,;,;,(,x,+5)(,x,-5)=,x,2,-25,;,x,2,+2,x,-3=,x,(,x,+2)-3,;,x,2,y+xy,2,=,xy,(,x,+,y,).,A.4,个,B.3,个,C.2,个,D.,1,个,分析：,要判断一个式子从左到右的变形是否为因式分解，关键是看这个变形是否把一个多项式化成,几个整式的乘积,的形式,.,新课讲解,练一练,2,下列变形属于因式分解的有（）,8,xy,3,=2,xy,4,y,2,;,;,(,x,+5)(,x,-5)=,x,2,-25,;,x,2,+2,x,-3=,x,(,x,+2)-3,;,x,2,y+xy,2,=,xy,(,x,+,y,).,A.4,个,B.3,个,C.2,个,D.,1,个,中等号左边不是多项式，所以不是因式分解,;,中 不是整式，所以不是因式分解,;,是整式的乘法，所以不是因式分解,;,中等号的右边不是积的形式，所以不是因式分解,;,符合因式分解的概念，是因式分解,.,分析：,新课讲解,知识点,2 用提公因式法,因式分解,公因式：,一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式,.,公因式的确定：,(1),确定公因式的系数,：当多项式中各项系数,都是整数,时，公因式的系数就是多项式中各项系数的,最大公因数,；当多项式中各项系数都是,分数,时，公因式的系数为,分数,，而且分母取各项系数中,分母的最小公倍数,，分子取各项系数中,分子的最大公因数；,新课讲解,知识点,2 用提公因式法,因式分解,(2),确定相同字母,：公因式应取多项式各项中的,相同的字母,；,(3),确定公因式中相同字母的指数：,取相同字母的,指数的最小值,作为公因式中此字母的指数；,(4),确定公因式：,由步骤,(1)(3),写出多项式的公因式,.,新课讲解,知识点,2 用提公因式法,因式分解,确定公因式的示例：,取相同字母,m,中指数最低的,m,2,取相同字母,n,中指数最低的,n,取,2,和,4,的最,大公约数,2,公因式,2,m,2,n,新课讲解,(1),公因式必须是,多项式中各项都含有,的公共的因式，只在某一项或某些项中存在而在其他项中没有的因式，不能作为公因式的一部分；,(2),公因式可以是数，也可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式；,(3),若多项式各项中含有互为相反数的因式，则,可将互为相反数的因式统一成相同的因式,；若多项式各项中含有,相同,的多项式因式，则,应将其看成一个整体，不要拆开,.,重 点,知识点,2 用提公因式法,因式分解,新课讲解,知识点,2 用提公因式法,因式分解,定义：,一般地，如果多项式的,各项有公因式,，可以把这个公因式,提取,出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的,乘积,的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法,.,使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是,“,最大公因式,”,，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式,.,新课讲解,知识点,2 用提公因式法,因式分解,提公因式法的一般步骤：,(1),确定公因式：先确定,系数,，再确定字母和字母的,指数,；,(2),提公因式并确定另外一个因式：用,多项式除以公因式,，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式；,(3),把多项式写成这两个因式的,积,的形式,.,新课讲解,(1),提公因式法的依据是,乘法分配律的逆用,，关键是找准,公因式；,(2),当多项式首项系数是,负数时,，一般应先提出“,-,”,号，但要注意，此时括号内各项都要,改变符号,.,(3),多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项式就有几项，,不能漏项；,(4),当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项,剩余的项为“,1”,，一定不要漏项,.,重 点,知识点,2 用提公因式法,因式分解,重 点,新课讲解,练一练,3,将下列各式分解因式：,(1),ax,+,ay,;,(2)8,mn,2,+2,mn,;,(3)2,a,(,y,-,z,)-3,b,(,z,-,y,),.,解：(1),ax,+,ay=a,(,x,+,y,),;,(2),8,mn,2,+2,mn=,2,mn,(4,n,+1),;,(3),2,a,(,y,-,z,)-3,b,(,z,-,y,)=2,a,(,y,-,z,)+3,b,(,y,-,z,)=(2,a,+3,b,)(,y,-,z,),.,课堂小结,因式分解,因式分解的定义,提公因式法分解因式的方法和步骤,当堂小练,1.,下列等式从左到右是因式分解的有,(),(1),x,2,-,x,=,x,(,x,-,1);(2),a,(,a,-,b,)=,a,2,-,ab,；,(3),a,2,-,9=(,a,+3)(,a,-,3)；(4),a,2,-,2,a,+1=,a,(,a,-,2)+1；,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.,4,个,B,当堂小练,2.,分解因式：,3,a,2,(,x,-,y,),3,-,4,b,2,(,y,-,x,),2,.,解：原式,=3,a,2,(,x,-,y,)(,x,-,y,),2,-4,b,2,(,x,-,y,),2,=(,x,-,y,),2,3,a,2,(,x,-,y,)-4,b,2,=(,x,-,y,),2,(3,a,2,x,-3,a,2,y,-4,b,2,),当堂小练,解：,7,y,(,x,-,3,y,),2,-,2(3,y,-,x,),3,=,7,y,(,x,-,3,y,),2,+,2(,x,-,3,y,),3,=,(,x,-,3,y,),2,7,y,+2,(,x,-,3,y,),=,(,x,-,3,y,),2,(,2,x,+,y,),=1,2,6=6,3.,已知,求,7,y,(,x,-,3,y,),2,-,2(3,y,-,x,),3,的值,.,2,x,+,y,=6,，,x,-,3,y,=1,，,拓展与延伸,已知,m,-4,n,=-3,，,mn,=4,，求,-,m,3,n,+8,m,2,n,2,-16,mn,3,的值,.,解析：,由条件等式求式子的值的通法是根据已知条件求出式子中字母的值，然后代入求值,.,但是本题中,m,，,n,不容易求出，可以,先分解因式，,将所求整式整理成只含,m,-4,n,和,mn,的形式，然后,整体代入求值,即可,.,解：,-,m,3,n,+8,m,2,n,2,-16,mn,3,=-,mn,(,m,2,-8,mn,+16,n,2,)=-,mn,(,m,-4,n,),2,.,因为,m,-4,n,=-3,，,mn,=4,，,所以原式,=-4,(-3),2,=-4,9=-36.,
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