资源描述
,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,7-7 多元函数的极值及其应用,1,7-7 多元函数的极值及其应用1,复 习,1.,隐函数求导公式,公式法,：,谁看成变量.,时把谁看成常量，,注意求,直接法,：,两边求导,这时若对,x,求导,把,z,看成,x,和,y,的函数,2.求隐函数 偏导的两个方法,2,复 习1.隐函数求导公式公式法：谁看成变量.时把谁看成,一、多元函数的极值,二、多元函数的最值,三、条件极值,第七章,第七节,多元函数的极值及其应用,3,一、多元函数的极值 二、多元函数的最值 三、条件极值 第七章,一、多元函数的极值,4,一、多元函数的极值4,一、多元函数的极值,5,一、多元函数的极值5,一、多元函数的极值,6,一、多元函数的极值6,一、多元函数的极值,7,一、多元函数的极值7,一、多元函数的极值,8,一、多元函数的极值8,一、多元函数的极值,9,一、多元函数的极值9,一、多元函数的极值,10,一、多元函数的极值10,一、多元函数的极值,11,一、多元函数的极值11,一、多元函数的极值,12,一、多元函数的极值12,一、多元函数的极值,13,一、多元函数的极值13,一、多元函数的极值,14,一、多元函数的极值14,一、多元函数的极值,15,一、多元函数的极值15,一、多元函数的极值,16,一、多元函数的极值16,一、多元函数的极值,17,一、多元函数的极值17,1、二元函数极值的定义,设函数,在点,的某个邻域内有定义，,对于,该邻域内异于,的点,如果都适合不等式,则称函数在点,有,极大值,如果都适合不,等式,则称函数在点,有,极小值,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,18,1、二元函数极值的定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻,1、二元函数极值的定义,说明：,1.从几何上看，二元函数的极大值点是其图形的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点.,2.由定义知：极值点应在,定义区域内部,取得，,而,不能在边界上取得.,19,1、二元函数极值的定义说明：1.从几何上看，二元函数的极,例1,(1),（椭圆抛物面）,例,(2),（圆锥曲面）,例,（,双曲抛物面或称马鞍面,）,(3),20,例1(1)（椭圆抛物面）例(2)（圆锥曲面）例（双曲抛物,2、多元函数取得极值的条件,回顾：,一元函数取得极值的条件,定理,(必要条件),(,费马定理),处,取得极值,设函数,在点,处,可导,，,且在点,即：,可导函数在极值点处导数必为零.,多元函数取得极值也有相似的必要条件,21,2、多元函数取得极值的条件回顾：一元函数取得极值的条件定理(,2、多元函数取得极值的条件,定理1,(必要条件),设函数,在点,可导，,且在点,处,有极值，,则在该点的偏导数必然为零，,证,不妨设,在点,处有极大值，,则对于,的某邻域内任意的点,都有,故当,时，,有,说明一元函数,在,处,有极大值，,必有,类似可证,即,22,2、多元函数取得极值的条件定理1(必要条件)设函数在点可导，,推广：,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，,驻点,极值点(可导函数),均称为函数的,驻点.,（具有偏导数的函数的极值点才是驻点）,23,推广：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，驻点极值点,驻点,极值点(可导函数),问题：,如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,又如,因函数在该点的,偏导不存在.,1.驻点,2.偏导中至少有一个不存在的点.,所以，,x,y,z,o,如,点(0,0)是函数,z=xy,的驻点，,但不是极值点.,点(0,0)是函数,的,极值点.,但点(0,0)并,不是,函数,的,驻点，,极值点可能是：,24,驻点极值点(可导函数)问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注,定理2(充分条件),设函数,在点,的某邻域,内,连续，,且有一阶二阶偏导数，,又,令,则,在点,处是否,取得极值,的条件如下：,(1),时,具有极值，,且当,时,有极大值，,当,时,有极小值；,(2),时,没有极值；,(3),时,可能有极值，,也可能没有极值，,还需,另作讨论.,注意,该定理只适用于,二元函数,不能推广到三元函数.,25,定理2(充分条件)设函数在点的某邻域内连续，且有一阶二阶偏导,求出在定义区域内部的实数解,求函数,的极值的一般步骤：,第一步:,解方程组,第二步:,求出,二阶偏导数,的值,A、B、C.,第三步:,定出,的符号，,再判断是否为极值.,得驻点.,对于每一个,驻点,26,求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤：第一步:,例1.,求函数,解:,第一步 求驻点.,得驻点:,(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步 判别.,在点,(1,0),处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,27,例1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),在点,(,3,0),处,不是极值;,在点,(,3,2),处,为极大值.,在点,(1,2),处,不是极值;,28,在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,例2：,求函数,解,解方程组,得驻点,(1,1),(0,0),故所求函数的极值为:,对驻点,对驻点,所以函数在,处无极值,.,的极值,所以，,29,例2：求函数解解方程组得驻点(1,1),(0,0)故所求函数,注意：,(1)偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导,则,极值点可能是,驻点,也可能是,偏导数不存在的点.,(2)驻点要同时满足:,30,注意：(1)偏导数不存在的点也可能是极值点,不可导,则极值点,所以，(0,0)点不是函数的极值点.,又因函数处处可微，所以该函数没有极值点.,例3：,31,所以，(0,0)点不是函数的极值点.又因函数处处可微，所以该,例4,:,所以，函数不可能在原点取得极值.,32,例4:所以，函数不可能在原点取得极值.32,解,33,解33,求最值的一般方法,：,与一元函数相类似，,二、多元函数的最值,求函数的最大值和最小值.,为最大值，,边界上的最大值和最小值相互比较，,将所有驻点处的函数值及在,D,的,如:,求函数,在区域,上,的最大值和最小值.,其中最大者即,最小者即为最小值.,我们可以利用函数的极值来,34,求最值的一般方法：与一元函数相类似，二、多元函数的最值求函数,有界闭区域D上连续函数的最值的步骤：,（1）,找最值可疑点,D,内的驻点及不可导点,边界上的可能极值点,（2）,比较以上各点处的函数值，最,大,（,小,）者即为所求的最,大,（,小,）,值.,求二元函数在闭区域,D,上的最值,值就是所求的最值.,又知函数在,D,内,可微,但如果根据问题的实际意义,知道函数在,D,内存在最值,且只有唯一驻点,则该点处的函数,往往比较复杂.,35,有界闭区域D上连续函数的最值的步骤：（1）找最值可疑点,解方程组,例6,解,36,解方程组例6解36,37,37,求出在定义区域内部的实数解,求函数,的极值的一般步骤：,第一步:,解方程组,第二步:,求出,二阶偏导数,的值,A、B、C.,第三步:,定出,的符号，,再判断是否为极值.,得驻点.,对于每一个,驻点,内容小结,38,求出在定义区域内部的实数解,求函数的极值的一般步骤：第一步:,作业：P319,1(1)(2),预习：从316到319页,39,作业：P319,1(1)(2)预习：从316到319页39,
展开阅读全文