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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,二、导数应用,一、微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三讲,2,拉格朗日中值定理,一、微分中值定理及其应用,1.,微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,3,2.,微分中值定理的主要应用,(3),研究函数或导数的性态,导数的应用,(2),证明恒等式或不等式,(1),证明有关中值问题的结论,(4),求不定式的极限,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数,.,一般解题方法,:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2),若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,4,(3),若结论中含两个或两个以上的中值,必须,多次应用,中值定理,.,(4),若已知条件中含高阶导数,多考虑用,泰勒公式,(5),若结论为不等式,要注意适当,放大,或,缩小,的技巧,.,有时也可考虑,对,导函数,用中值定理,.,3.,有关中值问题的解题方法,利用,逆向思维,设辅助函数,.,一般解题方法,:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2),若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数,.,多用,罗尔定理,可考虑用,柯西中值定理,.,5,二、导数应用,1.,研究函数的性态,:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,.,2.,解决最值问题,目标函数的建立与简化，,最值的判别问题,.,3.,其他应用,:,求不定式极限,;,几何应用,;,证明不等式,;,研究方程实根等,.,三、典型例题,1.,证不等式,2.,求单调区间及极值，求凹凸区间及拐点，求最值,.,3.,用罗比达法则求不定式的极限,.,6,单调性的判定方法：,极值的求法：,一阶导数左正右负有极大，,左负右正有极小,.,方法,1:,方法,2:,凹凸性的判定方法：,(1),(2),则曲线,在,内是,凹的,.,则曲线,在,内是,凸的,.,拐点的,求法：,二阶导数在,x,0,的两侧异号，,x,0,就是拐点的横坐标,.,7,1.,水平渐近线,2.,垂直渐近线,3.,斜渐近线,8,典型例题分析,一、证明等式,1.,用中值定理,(,包括推论,),；,2.,用泰勒公式；,3.,用极值的条件,.,上,则,或,的大小顺序是,(),设在,例,1,提示,:,B,9,例,2,的一组实数,分析：,则构造一函数,使,用罗而定理,10,证明,由罗而定理，,例,2,的一组实数,证毕,11,例,3,设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证,:,设辅助函数,显然,在,0,1,上满足罗尔定理条件,使,即有,故至少存在一点,12,例,4,分析,:,解,13,并且有,由罗而定理，,例,4,14,例,5,其中,解,由拉格朗日中值定理得,15,其中,例,5,16,例,6,解法,1:,17,解法,2:,例,6,皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、心、肺、肾等多脏器严重损害的，全身性疾病，而且不少患者同时伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如下：,1、早期皮肌炎患者，还往往伴有全身不适症状，如-全身肌肉酸痛，软弱无力，上楼梯时感觉两腿费力；举手梳理头发时，举高手臂很吃力；抬头转头缓慢而费力。,皮肌炎图片,皮肌炎的症状表现,19,例,7,证,上面两个式子相加得,20,例,7,于是有介值定理,21,例,8,分析,从结论想,证明,1:,由罗而定理，,22,由罗而定理，,例,8,23,证明,2:,则由已知条件得,例,8,24,二、证明不等式,1.,单调性,2.,中值定理,3.,泰勒公式,4.,凹凸性,5.,求最值,例,9,证明,证,:,故,时,单调增加,从而,即,25,例,10,证,26,证,例,11,证明当,x,0,时,27,例,12,证明,取对数,28,证,令,则,是凸函数，,例,13,即,所以函数值 弦上的纵坐标,注意：这是用凹凸性证明不等式,切线上的纵坐标 凸函数的函数值 弦上的纵坐标,.,A,29,例,14,解,三、用中值定理求极限,30,四、其它,例,15,解,31,例,16,.,求数列,的最大项,.,证,:,求导得,令,得,列表判别,:,因此在,处,也取最大值,.,又因,因为,在,内只有唯一的极大点,32,例,17,解,33,例,18,解,34,o,x,y,例,18,35,o,x,y,o,x,y,例,18,谢谢大家,
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