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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,勾股数,1,定义,如果正整数,a,b,c,能满足,a,2,+b,2,=c,2,则它们叫做勾股数，按我们古代人的叫法，如果勾股数的关系为,abc,则,a,叫勾数，,b,叫股数，,c,叫弦数。,2,我国古代数学家和天文著作,周髀算经,中记载的“勾三 股四 弦五”就是最简单的一组勾股数，即,3,4,5,，它是人们认识发现最早的一组勾股数。,勾股数有无数组，最早研究并发现大批勾股数的是古巴比伦人。经研究发现，距今大约,3000,年前，古巴比伦人留下了一份数学手稿中记下了下面,15,组勾股数：,119,120,169,3367,3456,4825 4601,4800,6649,12709,13500,1854165,，,72,，,97 319,360,481,2291,2700,3541 799,960,1249 481,600,769,4961,6480,8161 45,，,60,75 1679,2400,2929,，,161,240,289 1771,2700,3229 56,90,106,三千年前的古人，就能取得如此辉煌的成就，确实令人惊讶。,经过仔细观察上面的,15,组数，我们可以发现股数全部是,6,的倍数，这是不是可以说，古巴比伦人可能找到了勾股数的某种规律？,3,古今中外的数学家都在寻找计算勾股数的方法，怎样能求出更多的勾股数呢？我们先来观察机组简单的直角三角形的边：,3 4 5,5 12 13,7 24 25,9 40 41,11 60 61,.,你发现了有哪些规律？,4,第一个数都是奇数，然后再把这个数的平方数分成两个连续的自然数，就得到了一组勾股数，用公式可表示为：,设,m,为大于,1,的奇数，则,m,一定是勾股数,证明如下：,m,2,+()=,=(),2,这样就能写出许多勾股数，但这还只是一部分勾股数。,我们再来看几组直角三角形的边：,5,6 8 10;8 15 17;10 24 26;,12 35 37;.,观察这些数，可发现如下规律：,第一个数都是偶数，取其一半平方，然后再取与这个平方数相邻的两个自然数，就得到一组勾股数，用公式表示为：,设,m,为大于,2,的偶数，则,m,一定是勾股数。证明如下：,m,2,+()=,=(),2,这样也只能写出一部分勾股数。,6,能不能写出一个公式，得到全部勾股数呢？数学家经过研究，在前边两个公式的基础上得到了如下公式：,对正整数,m,n,m,n,则,2mn,m,2,-n,2,m,2,+n,2,一定是勾股数。,这个公式包括了所有的勾股数，同学们可以用这个公式寻找一下，看是不是能得到上面出现的全部勾股数。,7,勾股数还有一些有趣的性质，下面写出几条，在此不做证明，有兴趣的同学可选取一些勾股数验证。,性质,1,如果,a,b,c,是一组勾股数，则,ma,mb,mc,一定也是勾股数。,例如 把,3,4,5,扩大得到,6,8,10;9,12,15;12,16,20,等等，但是扩大,1.5,倍得到的,4.5,6,7.5,不是勾股数。,性质,2,勾数和股数不能相等,性质,3,勾数、股数、弦数三个数中，至少有一个是偶数，且勾数和股数不可能同为奇数。,性质,4,勾股数,a,b,c,三数的积,abc,一定能被,60,整除。,8,例题解析,1,如图 已知,BC=4cm AB=3cm AF=12cm,则正方形,CDEF,的面积为,_,解析：由勾股数组,3,4,5,和,5,12,13,很容易算出,正方形的边长为,13cm,所以，它的面积,是,169cm,A,B,C,D,E,F,9,例二 如图，在梯形,ABCD,中，,ADBC,对角线,ACBD,，且,AC=8cm,，,BD=6cm,，则此梯形的高是多少？,解析：作,DEAC,交,BC,的延长线于,E,，由,条件及梯形的性质,可知，,BDE,是直角三角形，两直角边,BD,DE,分别是,6cm,8cm,所以，由勾股数,6,8,10,算的斜边,BE=10cm,Rt BDE,斜边上的高即为梯形的,高，高为,=4.8cm,A,B,C,D,E,10,例三 在,ABC,中，,C=90,，,AC=2.1cm,，,BC=2.8cm,则斜边,AB,的长为,_cm.,解析,2.1cm=3,0.7cm,2.8cm=40.7cm,则斜边的长为,50.7cm,A,C,B,11,例四 如图，有一块直角三角形纸片,ABC,，两直角边,AB=6cm,，,BC=8cm,现将该三角形纸片沿直线,AD,折叠，使,B,点落在斜边,AC,上，则,CD,等于（）,解析：由图可得，,AC=,10cm,AE=6cm,所以,CE=,4cm,DE=xcm=BD,则有,x,2,+4,2,=(8-x),2,解得,x=3cm,所以,CD=5cm.,A,B,C,D,E,12,13,只要你努力了，你一定有机会成功。,14,
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