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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1.2,弧度制和弧度制与角度制的换算,1,1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1,在初中几何里，我们学习过角的度量，,1,度的角,是怎样定义的呢？,周角的,为,1,度的角。,这种用,1,角,作,单位,来度量角的制度叫做,角度制,，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度,弧度制,。,2,在初中几何里，我们学习过角的度量，1度,1.,圆心角、弧长和半径之间的关系：,角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的,点,必然形成一条,圆弧,，,不同的点所形成的圆,弧的长度是不同的，,但都对应同一个圆心角。,3,1.圆心角、弧长和半径之间的关系：角是由,=,定值,，,设,=,n,，弧长为,l,，半径,OA,为,r,，,则 ，,可以看出，等式右端不含,半径，表示,弧长与半径的,比值,跟半径无关，只与,的,大小有关。,4,=定值，设=n，弧长为l，半径OA为r,结论：可以用圆的半径作单位去度量角。,2.,定义,：,长度等于半径长的圆弧,所对的圆心角叫做,1,弧度的角,，弧度记作,rad,。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做,弧度制,。,注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或,rad,可以,略去不写,。,5,结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义：注：今后在用弧,3.,弧度制与角度制相比：,(1),弧度制是以,“弧度”,为,单位,的度量角的单位制，角度制是以,“度”,为单位来度量角的单位制；,1,弧度,1,；,（,2,）,1,弧度,是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而,1,度是圆周 的所对的圆心角的大小；,6,3.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位,（,3,）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；,（,4,）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。,7,（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六,4.,公式：,，,表示的是在半径为,r,的圆中，弧长为,l,的弧所对的圆心角是,rad,。,8,4.公式：，8,5.,弧度制与角度制的换算,用角度制和弧度制度量角，零角既是,0,角，又是,0 rad,角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的,.,平角、周角的弧度数：,平角,=,rad,、周角,=2,rad.,9,5.弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角，零角,正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是,0.,角,的弧度数的绝对值,:,（,l,为弧长，,r,为半径）,10,正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0,360,=2,rad,，,180,=,rad,1,=,1 rad,11,360=2 rad，180=rad,6.,用弧度制表示,弧长,及,扇形面积,公式：,弧长,等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积,.,弧长公式：,由公式：,比公式 简单,.,12,6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：弧长等于弧所,扇形面积公式,其中,l,是扇形弧长，,R,是圆的半径。,证明：设扇形所对的圆心角为,n,(,rad),，则,又,R,=,l,，所以,13,扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇,证明,2,：因为圆心角为,1 rad,的扇形面积是,而弧长为,l,的扇形的圆心角的大小是,rad.,所以它的面积是,14,证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是而弧长为l的扇形的,例,1.,（,1),把,112,30,化成弧度,(,精确到,0.001),；,（,2,）把,11230,化成弧度（用,表示,）。,解：（,1,）,11230=112.5,，,所以,11230112.50.01751.969rad.,(2)11230=112.5 =.,15,例1.（1)把11230化成弧度(精确到0.001),例,2.,把 化成度。,解：,1rad=,16,例2.把 化成度。解：1rad=16,例,3.,填写下表：,角度,0,30,45,60,90,120,弧度,角度,135,150,180,210,225,240,弧度,角度,270,300,315,330,360,弧度,0,2,17,例3.填写下表：角度030456090120弧,例,4.,扇形,AOB,中，所对的圆心角是,60,，半径是,50,米，求 的长,l,（精确到,0.1,米）。,解：因为,60=,所以,l,=,r=,50,52.5.,答：的长约为,52.5,米,.,18,例4.扇形AOB中，所对的圆心角是60,例,5.,在半径为,R,的圆中，,240,的中心角所对的弧长为,，面积为,2,R,2,的扇形的中心角等于,弧度。,解：（,1,）,240=,，根据,l,=,R,，得,（,2,）根据,S,=,lR=,R,2,，且,S,=2,R,2,.,所以,=,4.,19,例5.在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为,例,6.,与角,1825,的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。,解：,1825=,5360,25,，,所以与角,1825,的终边相同，且绝对值最小的角是,25.,合,20,例6.与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是,例,7.,已知一半径为,R,的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？,解：周长,=2,R,=2,R,+,l,，所以,l,=2(,1),R,.,所以扇形的中心角是,2(,1)rad.,合,(),扇形面积是,21,例7.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么,22,22,
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