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*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,为,等距,节点的步长,1、Euler,公式,2、改进的,Euler公式,欧拉法的局部截断误差为 ,整体截断误差为,改进的欧拉法的局部截断误差为 ,整体截断误差为,改进的欧拉法具有,2,阶精度,欧拉法具有,1,阶精度,3、Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,控制P值可得到不同,阶精度的算法,特别的P=4时，可得到P,阶精度算法,局部截断误差为,1,4、,变步长,方法,先根据误差要求确定h,再用上述公式计算。,以4阶,Runge-Kutta,为例,其局部截断误差为,更好的办法是根据精度,自动,地选择,步长h,因而步长为h时,将步长减为h/2后,两式相除有,2,记,当上式成立时，即可以 作为 的近似值,因而实际计算时，只需考察,3,以上方法在计算y,n+1,时，仅用到y,n,，因而成为一步法,与此对应的还有多步法，在计算y,n+1,时，不仅用到y,n,，,还用到y,n-1、,y,n-2、,y,n-P,4,如线性,多步法,的,一般,形式为,其中 均为常数，且,等价,形式：,如果 ，则,（*）,式称为,显式k,步法；,如果 ，则,（*）,式称为,隐式k,步法；,直接,求解,迭代,求解,5、线性,多步法,5,6.6 方程组及高阶问题,一阶方程组,对于一阶微分方程组的初值问题：,（6.2）,可以将原先单个方程 中的,f,和,y,看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种算法推广到一阶方程组中应用。,（6.2）中两式分别作为向量的两个分量,6,设,x,i,=,x,0,+,i h,(,i=,1,2,3,),y,i,，,z,i,为节点,x,i,上的近似解，则有改进的欧拉格式为：,7,再如经典R-K格式为：,其中,8,对于具有三个或三个以上方程的方程组的初值问题，也可用类似方法处理.。,9,用经典R-K方法求解，按（6.,2、改进的Euler公式,另一个是控 制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，,如果 ，则（*）式称为显式k步法；,tic,t,y=ode23s(examstiff,0,10,y0);toc,x0=0,0,eps;,2 高阶方程,当上式成立时，即可以 作为 的近似值,对于一阶微分方程组的初值问题：,0,-10,10;,与此对应的还有多步法，在计算yn+1时，不仅用到yn，,取h.,如果 ，则（*）式称为隐式k步法；,这是一个一阶微分方程组的初值问题，对此可用节中的方法来求解。,改进的欧拉法具有2阶精度,Ode23s 刚性,单步法,采用2阶Rosenbrock法,精度较低,可解决ode15s 效果不好的刚性方程.,对于高阶微分方程（或方程组）的初值问题，可以化为一阶方程组来求解。例如，有二阶微分方程的初值问题,（6.5）,（6.6）,令新变量 ，代入,（6.5）,得,6.2 高阶方程,这是,一个一阶微分方程组的初值问题，对此可用,节中的,方法来求解。例如用经典R-K方法为,10,（6.8）,（6.7）,11,上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题。,解,先作变换：令 ，代入上式得一阶方程组：,例,试求解节下列二阶微分方程的初值问题：,12,用经典R-K方法求解，按,（6.7）,及,（6.8）,进行计算：,取,h,.，,i=0,时：,13,14,因而实际计算时，只需考察,上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题。,如果 ，则（*）式称为隐式k步法；,xdot=-8/3,0,x(2);,例如用经典R-K方法为,令新变量 ，代入（6.,速度相差 十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系,特别的P=4时，可得到P阶精度算法,可以将原先单个方程 中的 f 和 y 看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种算法推广到一阶方程组中应用。,另一个是控 制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，,用经典R-K方法求解，按（6.,Ode23tb 刚性,TR-BDF2,即R-K的第一级用梯形法则,第二级用Gear 法.,更好的办法是根据精度自动地选择步长h,3、Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,统，当飞行器速 度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说,相对来说变化很快，因而整 个系统就是一个刚性系统。,Ode15s 刚性,多步法,采用Gears(或BDF)算法,精度中等.,可以将原先单个方程 中的 f 和 y 看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种算法推广到一阶方程组中应用。,15,16,然后计算,i,=1 时的,K,1,，,L,1,，,K,2,，,L,2,，,K,3,，,L,3,，,K,4,，,L,4,，,y,2,和,z,2,;,再计算,i,=2 时,K,1,，,L,1,，,，,y,3,和,z,3,；依此类推，直到,i,=9 时的,y,10,和,z,10,，,即可得到数值解：,y,1,，,y,2,，,y,10,17,。,6.7 Stiff问题,在用微分方程描述的一个变化过程中，若往往又包含着多个相互,作用但变化速度相差十分悬殊的子过程，这样一类过程就认为具,有“刚性”。描述这类过程的微分方程初值问题称为“刚性问题”。,例 如：宇航飞行器自动控制系统一般包含两个相互作用但效应,速度相差 十分悬殊的子系统，一个是控制飞行器质心运动的系,统，当飞行器速 度较大时，质心运动惯性较大，因而相对来说,变化缓慢；另一个是控 制飞行器运动姿态的系统，由于惯性小，,相对来说变化很快，因而整 个系统就是一个刚性系统。,18,Ode23 非刚性,单步法,二三阶Runge-Kutta,精度低,Ode45非刚性,单步法,四五阶Runge-Kutta,精度较高,最常用,Ode113非刚性,多步法,采用可变阶(1-13)Adams PECE 算法,精度可高可低,Ode15s 刚性,多步法,采用Gears(或BDF)算法,精度中等.如果ode45很慢,系统可能是刚性的,可试此法,Ode23s 刚性,单步法,采用2阶Rosenbrock法,精度较低,可解决ode15s 效果不好的刚性方程.,Ode23t 适度刚性,采用梯形法则,适用于轻微刚性系统,给出的解无数值衰减.,Ode23tb 刚性,TR-BDF2,即R-K的第一级用梯形法则,第二级用Gear 法.精度较低,对于误差允许范围比较差的情况,比ode15s好.,Matlab 函数,19,function xdot=lorenz(t,x),xdot=-8/3,0,x(2);,0,-10,10;,-x(2),28,-1*x;,x0=0,0,eps;,t,x=ode23(lorenz,0,100,x0);,plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);,plot(x(:,1),x(:,2);,plot(x(:,2),x(:,3);,plot(x(:,1),x(:,3);,实例,1,：,Lorenz,吸引子,最常用的参数是：,求解程序：,20,21,function yp=examstiff(t,y),yp=-2,1;998,-998*y+2*sin(t);999*(cos(t)-sin(t);,y0=2;3;,tic,t,y=ode113(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode45(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode23(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode23s(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode15s(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode23t(examstiff,0,10,y0);toc,tic,t,y=ode23tb(examstiff,0,10,y0);toc,实例2：刚性方程,比较不同算法的耗时,22,谢谢观看,
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